Question

如圖所示，相互平行的豎直分界面MN、PQ，相距L，將空間分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)．Ⅰ、Ⅲ區(qū)有水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，Ⅰ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度未知，Ⅲ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；Ⅱ區(qū)有豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出）．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為e的電子，自MN上的O點(diǎn)以初速度v₀水平射入Ⅱ區(qū)，此時(shí)Ⅱ區(qū)的電場(chǎng)方向豎直向下，以后每當(dāng)電子剛從Ⅲ區(qū)進(jìn)入Ⅱ區(qū)或從Ⅰ區(qū)進(jìn)入Ⅱ區(qū)時(shí)，電場(chǎng)突然反向，場(chǎng)強(qiáng)大小不變，這個(gè)電子總是經(jīng)過(guò)O點(diǎn)且水平進(jìn)入Ⅱ區(qū)．（不計(jì)電子重力）
（1）畫出電子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖；
（2）求電子經(jīng)過(guò)界面PQ上兩點(diǎn)間的距離；
（3）若Ⅱ區(qū)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小恒為E，求Ⅰ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度．

Answer 1

分析：（1）電子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后首先做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是一段拋物線；電子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ后在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡是一段圓��；再次進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后，電子做斜上拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是一段拋物線（和剛進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ的拋物線是對(duì)稱的）；電子垂直進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ后，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡是一個(gè)半圓．
（2）電子在區(qū)域Ⅲ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，首先求出運(yùn)動(dòng)半徑，再由幾何關(guān)系可求出兩點(diǎn)間的距離．
（3）結(jié)合第一問(wèn)和第二問(wèn)求出電子經(jīng)過(guò)邊界MN上的兩點(diǎn)間的距離，此為電子在區(qū)域Ⅰ中做圓周運(yùn)動(dòng)的直徑，由洛倫茲力提供向心力公式可求出區(qū)域Ⅰ的磁場(chǎng)強(qiáng)度．

解答：解：
（1）電子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．
（2）電子在Ⅱ區(qū)Oa段做類平拋運(yùn)動(dòng)，
在a點(diǎn)的速度v₁與PQ成θ角，v₁sinθ=v₀…①
電子在Ⅲ區(qū)ab段做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，有：
ev1B=

m v 2 1

R1

…②
由幾何知識(shí)有：

.

ab

=2R1sinθ…③
①②③聯(lián)立解得：

.

ab

=

2mv0

eB

…④
（3）電子在Ⅱ區(qū)Oa段運(yùn)動(dòng)的豎直位移：
y1=

1

2

at2=

eE

2m

?(

L

v0

)2=

eEL2

2m v 2 0

…⑤
電子在bc段做類斜上拋運(yùn)動(dòng)，加速度與Oa段等值反向，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性得
電子運(yùn)動(dòng)的豎直位移：
y2=y1=

eEL2

2m v 2 0

…⑥
同樣有對(duì)稱可得電子在c處的速度為：
v_c=v₀，方向水平向左…⑦
所以，電子在Ⅰ區(qū)CO段做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
R′=

1

2

(y1+y2+

.

ab

)…⑧
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：
ev0B=

m v 2 0

R′

…⑨
解得：
B′=

mv0

mv0 B + e2L2E 2Em v 2 0

（或

2m2 v 3 0 B

2m2 v 3 0 +e2L2BE

）
答：（1）電子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖如圖所示．
（2）電子經(jīng)過(guò)界面PQ上兩點(diǎn)間的距離為

2mv0

eB

．
（3）若Ⅱ區(qū)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小恒為E，Ⅰ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

mv0

mv0 B + e2L2E 2Em v 2 0

．

點(diǎn)評(píng)：該題考察了電子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)和在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此題要求首先要分析電子在各個(gè)區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況，畫出電子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，了解圖中的幾何關(guān)系．利用電子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)時(shí)的速度的合成與分解，解決電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的相關(guān)問(wèn)題；利用電子在勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期公式，結(jié)合洛倫茲力提供向心力可解答電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的相關(guān)問(wèn)題．
電子從磁場(chǎng)邊界以一定的角度射入只有一個(gè)邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，當(dāng)再次射出磁場(chǎng)時(shí)，速度與邊界的夾角與原來(lái)的相等．解題時(shí)充分利用這個(gè)結(jié)論，對(duì)解題有非常大的幫助．