Question

如圖所示，相互平行的光滑金屬導(dǎo)軌固定在傾角為θ=30°的絕緣斜面上，相距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌下端連接一個(gè)定值電阻R₁，上端通過開關(guān)S（S是閉合的）連接一個(gè)定值電阻R₂．導(dǎo)體棒ab放在導(dǎo)軌上靠近下端的位置，與導(dǎo)軌垂直并接觸良好．在導(dǎo)軌平面上虛線MN以下的區(qū)域內(nèi)，存在著垂直穿過斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)對(duì)導(dǎo)體棒施加平行導(dǎo)軌向上的恒定拉力F，使它沿導(dǎo)軌先向上加速運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)虛線MN之前，導(dǎo)體棒已經(jīng)開始做勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小為v=

Lg

．當(dāng)導(dǎo)體棒到達(dá)MN時(shí)，立即撤去拉力F，導(dǎo)體棒向上運(yùn)動(dòng)一段后又向下滑動(dòng)，在導(dǎo)體棒再次進(jìn)入磁場(chǎng)前斷開開關(guān)S，導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)后又恰好做勻速運(yùn)動(dòng)．已知R₁=R₂=R，導(dǎo)體棒的阻值為r=

R

2

、質(zhì)量為m，重力加速度為g，導(dǎo)體棒的起始位置曲到MN的距離為2L，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B和拉力F的大��；
（2）導(dǎo)體棒從ab開始運(yùn)動(dòng)到回到初始位置ab的過程中電阻R₁產(chǎn)生的熱量Q₁；
（3）若在導(dǎo)體棒ab再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)沒有斷開開關(guān)S，則導(dǎo)體棒ab將如何運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

分析：（1）由題，ab棒在到達(dá)MN之前已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，由平衡條件可得到拉力F與重力、安培力的關(guān)系式，并由法拉第定律、歐姆定律推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系；當(dāng)導(dǎo)體棒到達(dá)MN時(shí)，立即撤去拉力F，導(dǎo)體棒先向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，后向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)過程加速度相同，兩個(gè)過程具有對(duì)稱性，棒滑回MN時(shí)的速度大小相等．由題，導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)后又恰好做勻速運(yùn)動(dòng)，再用同樣的方法得到拉力F與重力、安培力的關(guān)系式，聯(lián)立幾個(gè)關(guān)系式，即可求得B和F．
（2）根據(jù)能量守恒列式，分別對(duì)ab棒在磁場(chǎng)中上滑和下滑時(shí)回路產(chǎn)生的熱量，再根據(jù)串并聯(lián)關(guān)系求解電阻R₁產(chǎn)生的熱量Q₁；
（3）若在導(dǎo)體棒ab再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)沒有斷開開關(guān)S，分析安培力與重力沿斜面向下的分力關(guān)系，判斷其運(yùn)動(dòng)情況．

解答：解：（1）棒ab到達(dá)MN前已經(jīng)開始做勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，則有
    F=mgsinθ+F_A1，
而又有F_A1=BI₁L，I₁=

BLv

1 2 R+r

=

BLv

1 2 R+ 1 2 R

=

BLv

R

，
得F_A1=

B2L2v

R

聯(lián)立以上各式得 F=mgsinθ+

B2L2v

R

 ①
ab棒滑回到MN時(shí)，速度大小仍為v，也做勻速運(yùn)動(dòng)，則有
   mgsinθ=F_A2，
又F_A2=BI₂L，I2=

BLv

R+ 1 2 R

，
得F_A2=

2B2L2v

3R

由上面兩式得：mgsinθ=

2B2L2v

3R

 ②
由題，v=

Lg

聯(lián)立①②③解得，B=

3mgRsinθ

2L2 Lg

=

3mgR

4L2 Lg

，F(xiàn)=2.5mgsinθ=1.25mg．
（2）根據(jù)能量守恒得
ab棒上滑過程：F?2L=Q_R1+Q_R2+Q_r+mgsinθ?2L+

1

2

mv2
而Q_R1=Q_R2，Q_r=Q_R1+Q_R2，
解得：Q_R1=

1

4

（3mgsinθL-

1

2

mgL）=

1

4

mgL
ab棒下滑過程：mgsinθ?2L=Q_R1′+Q_r′
又Q_R1′=2Q_r′
解得，Q_R1′=

4

3

mgLsinθ=

2

3

mgL
故整個(gè)過程中，電阻R₁產(chǎn)生的熱量Q₁=Q_R1+Q_R1′=

11

12

mgL
（3）若在導(dǎo)體棒ab再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)沒有斷開開關(guān)S，ab棒再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，所受的安培力大小等于F_A1，
由上知道，F(xiàn)_A1＞F_A2，mgsinθ=F_A2，
故有mgsinθ＜F_A1，則知ab棒再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所受安培力大于重力沿斜面向下的分力，則ab棒將做減速運(yùn)動(dòng)，安培力減小，加速度減小，即導(dǎo)體棒ab做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)．
答：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度為

3mgR

4L2 Lg

，拉力F的大小為1.25mg；
（2）導(dǎo)體棒從ab開始運(yùn)動(dòng)到回到初始位置ab的過程中電阻R₁產(chǎn)生的熱量Q₁為

11

12

mgL．
（3）若在導(dǎo)體棒ab再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)沒有斷開開關(guān)S，則導(dǎo)體棒ab做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是通過分析棒ab的受力情況來分析其運(yùn)動(dòng)情況，安培力的計(jì)算是關(guān)鍵，還要抓住對(duì)稱性，分析得出ab棒返回時(shí)MN時(shí)的速度與上滑時(shí)速度大小相等．