Question

4．從地面以初速度v₀豎直向上拋出一質(zhì)量為m的小物體．假定物塊所受的空氣阻力f大小不變．已知重力加速度為g．求：
（1）物體上升的最大高度h．
（2）物體在空中飛行的時(shí)間t和落回地面的速率v．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出上升過程的加速度，由速度位移公式求上升的最大高度；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出下降過程的加速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求物體在空中飛行的時(shí)間t和落回地面的速率v

解答 解：（1）小物體上升過程中，對小物體受力分析，根據(jù)牛頓第二定律，有
$mg+f=m{a}_{1}^{\;}$
解得：${a}_{1}^{\;}=g+\frac{f}{m}$
根據(jù)速度位移公式：${v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}=2{a}_{1}^{\;}h$
解得：$h=\frac{{v}_{0}^{2}}{2（g+\frac{f}{m}）}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（1+\frac{f}{mg}）}$
（2）上升過程的時(shí)間${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{g+\frac{f}{m}}$
下降過程，根據(jù)牛頓第二定律，有：$mg-f=m{a}_{2}^{\;}$
解得：${a}_{2}^{\;}=g-\frac{f}{m}$
根據(jù)$h=\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$，得${t}_{2}^{\;}=m{v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{1}{（mg+f）（mg-f）}}$
小球在空中飛行的時(shí)間$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{mg+f}+m{v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{1}{（mg+f）（mg-f）}}$
根據(jù)${v}_{\;}^{2}=2{a}_{2}^{\;}h$
代入數(shù)據(jù)：$v={v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{mg-f}{mg+f}}$
答：（1）物體上升的最大高度h為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（1+\frac{f}{mg}）}$．
（2）物體在空中飛行的時(shí)間t為$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{mg+f}+m{v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{1}{（mg+f）（mg-f）}}$和落回地面的速率v為${v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{mg-f}{mg+f}}$

點(diǎn)評 在上升和下降的過程中，小球受到的阻力的方向是不同的，根據(jù)小球的受力，由牛頓第二定律求得加速度的大小，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的規(guī)律求解即可