Question

4．我國戰(zhàn)國時期的著作《墨經(jīng)》中就有關(guān)于滑輪的記載，展示了中華民族的智慧．如圖所示，不計(jì)質(zhì)量的滑輪通過輕桿固定在天花板上，可看作質(zhì)點(diǎn)的物塊A、B、C用不可伸長的細(xì)線通過滑輪連接，另一與A連接的細(xì)線固定在地面，B與C間距離、C與地面間距離都是L．已知A的質(zhì)量為m₁，B、C的質(zhì)量都是m₂，且m₂＜m₁＜2m₂．A距滑輪足夠遠(yuǎn)，不計(jì)空氣阻力．現(xiàn)將A與地面間的細(xì)線剪斷．求：
（1）A上升過程中的最大速度；
（2）若B恰好著地，求m₁與m₂的關(guān)系；
（3）在A上升過程中，輕桿對滑輪拉力的最大值．

Answer 1

分析 （1）C恰好落地時A的速度最大，應(yīng)用動能定理可以求出A的最大速度．
（2）B恰好落地時A、B的速度都為零，應(yīng)用動能定理可以求出A、B質(zhì)量的關(guān)系．
（3）應(yīng)用牛頓第二定律求出細(xì)線的拉力，然后求出輕桿對滑輪拉力的最大值．

解答 解：（1）C落地時A的速度最大，對A、B、C系統(tǒng)，
由動能定理得：2m₂gL-m₁gL=$\frac{1}{2}$（m₁+2m₂）v²-0，
解得，A的最大速度：v=$\sqrt{\frac{（4{m}_{2}-2{m}_{1}）gL}{{m}_{1}+2{m}_{2}}}$；
（2）C落地后A、B都做勻減速直線運(yùn)動，
B恰好落地時A、B的速度都為零，對A、B系統(tǒng)，
由動能定理得：m₂gL-m₁gL=0-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²，
解得：m₁=$\sqrt{2}$m₂；
（3）A上升過程C落地前，由牛頓第二定律得：
對A、B、C系統(tǒng)：2m₂g-m₁g=（m₁+2m₂）a，
對A：T-m₁g=m₁a，解得：T=$\frac{4{m}_{1}{m}_{2}g}{{m}_{1}+2{m}_{2}}$
滑輪靜止，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件可知，
輕桿對滑輪的最大拉力：F=2T=$\frac{8{m}_{1}{m}_{2}g}{{m}_{1}+2{m}_{2}}$；
C落地后，由牛頓第二定律得：
對B：T′-m₂g=m₂a′，
對A：m₁g-T′=m₁a′，
解得：T′=$\frac{2{m}_{1}{m}_{2}g}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，
滑輪靜止，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件可知，
輕桿對滑輪的最大拉力：F′=2T′=$\frac{4{m}_{1}{m}_{2}g}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，
F＞F′，則最大拉力為：$\frac{8{m}_{1}{m}_{2}g}{{m}_{1}+2{m}_{2}}$；
答：（1）A上升過程中的最大速度為：$\sqrt{\frac{（4{m}_{2}-2{m}_{1}）gL}{{m}_{1}+2{m}_{2}}}$；
（2）若B恰好著地，m₁與m₂的關(guān)系為：m₁=$\sqrt{2}$m₂；
（3）在A上升過程中，輕桿對滑輪拉力的最大值為$\frac{8{m}_{1}{m}_{2}g}{{m}_{1}+2{m}_{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查了求最大速度、物體間的質(zhì)量關(guān)系、拉力大小等問題，考查了牛頓第二定律與動能定理的應(yīng)用，分析清楚物體的運(yùn)動過程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動能定理與牛頓第二定律可以解題．