Question

19．如圖所示，K是粒子發(fā)生器，D₁、D₂、D₃是三塊擋板，通過傳感器可控制它們定時開啟和關(guān)閉，D₁、D₂的間距為L，D₂、D₃的間距為$\frac{L}{2}$．在以O(shè)為原點的直角坐標系Oxy中有一磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，y軸和直線MN是它的左、右邊界，且MN平行于y軸．現(xiàn)開啟擋板D₁、D₃，粒子發(fā)生器僅在t=0時刻沿x軸正方向發(fā)射各種速率的粒子，D₂僅在t=nT（n=0，1，2…，T為周期）時刻開啟，在t=5T時刻，再關(guān)閉擋板D₃，使粒子無法進入磁場區(qū)域．已知擋板的厚度不計，粒子質(zhì)量為m、電荷量為+q（q大于0），不計粒子的重力，不計粒子間的相互作用，整個裝置都放在真空中．
（1）求能夠進入磁場區(qū)域的粒子的速度大��；
（2）已知從原點O進入磁場中速度最小的粒子經(jīng)過坐標為（0，2）的P點，應(yīng)將磁場邊界MN在Oxy平面內(nèi)如何平移，才能使從原點O進入磁場中速度最大的粒子經(jīng)過坐標為（$3\sqrt{3}$，6 ）的Q點？

Answer 1

分析 （1）粒子必須在D₃關(guān)閉前進入磁場才行，粒子由D₁到D₂和由D₂到D₃都是勻速直線運動，可得運動時間表達式，兩段時間之和應(yīng)小于等于5T，可解得能夠進入磁場區(qū)域的粒子的速度．
（2）由進入磁場中速度最小的粒子經(jīng)過坐標為（0cm，2cm）的P點可確定其軌道半徑，進而確定最小速度；由（1）得到的速度表達式，可得最大速度，由速度關(guān)系可確定速度最大粒子的半徑，做出運動軌跡圖，由幾何關(guān)系來判定該如何移動磁場的右邊界MN．

解答 解：（1）設(shè)能夠進入磁場區(qū)域的粒子的速度大小為v_n，
由題意可知，粒子由D₁到D₂經(jīng)歷的時間為：△t₁=$\frac{L}{{v}_{n}}$=nT  （n=1、2…）
粒子由D₂到D₃經(jīng)歷的時間為：△t₂=$\frac{L}{2{v}_{n}}$=$\frac{nT}{2}$，
t=5T時刻，擋板D₃關(guān)閉，粒子無法進入磁場，故有△t=△t₁+△t₂≤5T，
解得：n≤$\frac{10}{3}$，即：n=1、2、3，
所以，能夠進入磁場區(qū)域的粒子的速度為
所以，能夠進入磁場區(qū)域的粒子的速度為：${v_n}=\frac{L}{nT}$（n=1、2、3）；
（2）進入磁場中速度最小的粒子經(jīng)過坐標為（0 cm，2 cm）的P點，所以R=1 cm．
粒子在磁場中做圓周運動，由牛頓第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{R}$，解得：$R=\frac{mv}{Bq}$，
由此可知，進入磁場中粒子的最大速度是最小速度的3倍，
故：R′=3R=3 cm，其圓心E坐標為（0，3 cm）；
過Q點作圓軌跡的切線，設(shè)切點F的坐標為（x₀，y₀）．
若此粒子在F點飛出磁場區(qū)域，它將沿直線FQ運動到Q點．
故F點一定在磁場的邊界上．由圖可知：
$tanθ=\frac{{3\sqrt{3}-{x_0}}}{{6-{y_0}}}$
$tanθ=\frac{{3-{y_0}}}{x_0}$，
由幾何關(guān)系有：$x_0^2+{（3-{y_0}）^2}={3^2}$
聯(lián)立解得${x_0}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}cm$，${y_0}=\frac{3}{2}cm$
因此，只要將磁場區(qū)域的邊界MN平行左移到：${x_0}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}cm$的F點，
速度最大的粒子在F點穿出磁場，將沿圓軌跡的切線方向到達Q點．
答：（1）能夠進入磁場區(qū)域的粒子速度大小為：${v_n}=\frac{L}{nT}$（n=1、2、3）（n=1、2、3）．
（2）已知從原點O進入磁場中速度最小的粒子經(jīng)過坐標為（0cm，2cm）的P點，將磁場邊界的MN平移到圖中F點，才能使從原點O進入磁場中速度最大的粒子經(jīng)過坐標為（3$\sqrt{3}$cm，6cm）的Q點．

點評 該題的關(guān)鍵點在于做速度最大粒子的軌跡圖，帶電粒子在磁場中運動，在混合場中的運動等問題，最重要的就是做出運動軌跡圖，做這種圖首先要能確定半徑，其次要確定初末速度的方向．