14.如圖所示,BC為一段光滑圓弧軌道,B點(diǎn)距滑板上表面高h(yuǎn)=1m,DE為半圓形光滑軌道,兩圓弧軌道均固定于豎直平面內(nèi),兩軌道的半徑均為R=2m.滑板長L=7m,質(zhì)量M=1kg,靜止在光滑水平地面上,滑板右端緊靠C點(diǎn),上表面恰可與兩圓弧相切于C點(diǎn)和D點(diǎn),滑板左端到半圓形軌道下端D點(diǎn)的距離L=3m.一物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))質(zhì)量m=1kg以初速v0=2$\sqrt{5}$m/s從A點(diǎn)水平拋出,經(jīng)過一段時間恰在B點(diǎn)沿切線進(jìn)入BC段圓弧軌道,經(jīng)C點(diǎn)滑上滑板,滑板左端到達(dá)D點(diǎn)時立即披牢固粘連.物塊與滑板間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5,g=10m/s2,求:
(1)物塊拋出點(diǎn)A點(diǎn)距滑板上表面的高度H;
(2)物塊最終靜止時的位置到C點(diǎn)的距離S.

分析 (1)物塊落到B點(diǎn)前做平拋運(yùn)動,應(yīng)用平拋運(yùn)動規(guī)律求出H的高度.
(2)物塊滑到M上后M向左做勻加速運(yùn)動,m向左做勻減速直線運(yùn)動,應(yīng)用牛頓第二定律求出加速度,應(yīng)用運(yùn)動學(xué)公式與動能定理求出物塊的路程,然后求出物塊最終靜止時到C點(diǎn)的距離.

解答 解:(1)物塊開始做平拋運(yùn)動,物塊到達(dá)B點(diǎn)時速度如圖所示,
由幾何知識得:sinθ=$\frac{R-h}{R}$=$\frac{2-1}{2}$=0.5,則θ=30°,α=60°,
vy=v0tanα=2$\sqrt{5}$tan60°=2$\sqrt{15}$m/s,
物塊從A到B過程做平拋運(yùn)動,
H-h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{(2\sqrt{15})^{2}}{2×10}$=3m;
解得:H=4m
(2)到達(dá)B點(diǎn)時的速度:v=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$=$\frac{2\sqrt{5}}{cos60°}$=4$\sqrt{5}$m/s,
從B到C過程,由動能定理得:
mgh=$\frac{1}{2}$mvC2-$\frac{1}{2}$mv2,解得:vC=10m/s,
物塊滑上滑板后向左做勻減速直線運(yùn)動,滑板向左做勻加速直線運(yùn)動,
由牛頓第二定律得,對物塊:a=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.5×10=5m/s2,
對滑板:a′=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.5×10×1}{1}$=5m/s2,
物塊與滑板組成的系統(tǒng)動量守恒,當(dāng)兩者速度相等過程中,
以向左為正方向,由動量守恒定律得:mvC=(M+m)v,解得:v=5m/s,
該過程滑塊的位移:x′=$\frac{{v}_{共}^{2}}{2a′}$=$\frac{{5}^{2}}{2×5}$=2.5m<L′,
物塊的位移:x=$\frac{{v}_{共}^{2}-{v}_{C}^{2}}{2a}$=$\frac{{5}^{2}-1{0}^{2}}{2×(-5)}$=7.5m<x′+L=9.5m,
此時物塊仍在滑板上,距離滑板右端C的距離:d=L-(x-x′)=7-(7.5-2.5)=2m,
然后物塊與滑板一起向左做勻速直線運(yùn)動直到滑板被鎖死,
滑板被鎖死后物塊在滑板上向左運(yùn)動,然后在圓弧軌道上滑,然后再返回滑板向右運(yùn)動,直到靜止,
從滑板被鎖死到物塊靜止的整個過程中,對物塊,由動能定理得:
-μmgs=0-$\frac{1}{2}$mv2,解得:s=2.5m,則物塊最終靜止的位置距滑板C端的距離:
S=L-(s-d)=7-(2.5-2)=6.5m;
答:(1)物塊拋出點(diǎn)A點(diǎn)距滑板上表面的高度H為4m;
(2)物塊最終靜止時的位置到C點(diǎn)的距離S為6.5m.

點(diǎn)評 本題考查了求高度與距離問題,本題是一道力學(xué)綜合題,物體運(yùn)動過程復(fù)雜,本題難度較大,分析清楚物體運(yùn)動過程是本題解題的關(guān)鍵,應(yīng)用動能定理、運(yùn)動學(xué)公式、牛頓第二定律即可解題.

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