Question

8．如圖（a）所示，間距為l、電阻不計(jì)的光滑導(dǎo)軌固定在傾角為θ的斜面上．在區(qū)域Ⅰ內(nèi)有方向垂直于斜面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度恒為B不變；在區(qū)域Ⅱ內(nèi)有垂直于斜面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B_t的大小隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖（b）所示．t=0時(shí)刻在軌道上端的金屬細(xì)棒ab從如圖位置由靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌下滑，同時(shí)下端的另一金屬細(xì)棒cd在位于區(qū)域Ⅰ內(nèi)的導(dǎo)軌上由靜止釋放．在ab棒運(yùn)動(dòng)到區(qū)域Ⅱ的下邊界EF處之前，cd棒始終靜止不動(dòng)，兩棒均與導(dǎo)軌接觸良好．已知cd棒的質(zhì)量為m、電阻為R，ab棒的質(zhì)量、阻值均未知，區(qū)域Ⅱ沿斜面的長(zhǎng)度為2l，在t=t_x時(shí)刻（t_x未知）ab棒恰進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，重力加速度為g．求：
（1）通過(guò)cd棒電流的方向和區(qū)域Ⅰ內(nèi)磁場(chǎng)的方向；
（2）當(dāng)ab棒在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒消耗的電功率；
（3）ab棒開(kāi)始下滑的位置離EF的距離；
（4）ab棒從開(kāi)始下滑至EF的過(guò)程中，回路中產(chǎn)生總的熱量．（結(jié)果用B、l、θ、m、R、g表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)右手定則判斷出ab棒中的電流方向，從而得出通過(guò)cd棒中的電流方向，根據(jù)cd棒處于靜止，通過(guò)安培力的方向，根據(jù)左手定則判斷出區(qū)域I內(nèi)磁場(chǎng)的方向．
（2）對(duì)cd棒，根據(jù)平衡求出感應(yīng)電流的大小，根據(jù)P=I²R求出當(dāng)ab棒在區(qū)域II內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒消耗的電功率．
（3）棒ab進(jìn)入II區(qū)域前后回路中的電動(dòng)勢(shì)不變，即磁場(chǎng)變化產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)與導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)相等，據(jù)此求出導(dǎo)體棒進(jìn)入II時(shí)速度大小，然后根據(jù)導(dǎo)體棒勻加速下滑的特點(diǎn)即可求出結(jié)果．
（4）回路中電流恒定，根據(jù)Q=EIt可求出結(jié)果．

解答 解：（1）通過(guò)cd棒的電流方向 d→c
區(qū)域I內(nèi)磁場(chǎng)方向?yàn)榇怪庇谛泵嫦蛏?br />（2）cd棒平衡，
BIl=mgsinθ，
I=$\frac{mgsinθ}{Bl}$
電流方向d→c，
當(dāng)ab棒在區(qū)域II內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒消耗的電功率$P={I}_{\;}^{2}R=（\frac{mgsinθ}{Bl}）_{\;}^{2}R=\frac{{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}Rsi{n}_{\;}^{2}θ}{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$
（3）前、后回路感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不變，
$\frac{△Φ}{△t}$=Blv_x，
即$\frac{（2B-B）}{t_x}{l^2}$=Blv_x，
解得l=v_xt_x
ab棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ之前不受磁場(chǎng)力的作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
S₁=$\frac{1}{2}$（0+v）t_x=0.5l
（4）ab棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后作勻速直線運(yùn)動(dòng)，
t₂=t_x，
總時(shí)間t_總=t_x+t₂=2t_x，
電動(dòng)勢(shì)E=Blv_x不變，
總熱量：Q=EIt_總=2mgv_xt_xsinθ=2mglsinθ
答：（1）通過(guò)cd棒電流的方向d→c和區(qū)域Ⅰ內(nèi)磁場(chǎng)的方向垂直于斜面向上；
（2）當(dāng)ab棒在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒消耗的電功率$\frac{{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}Rsi{n}_{\;}^{2}θ}{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$；
（3）ab棒開(kāi)始下滑的位置離EF的距離0.5l；
（4）ab棒從開(kāi)始下滑至EF的過(guò)程中，回路中產(chǎn)生總的熱量2mglsinθ

點(diǎn)評(píng) 解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清電路結(jié)構(gòu)，正確分析電路中的電流以及安培力的變化情況．