Question

5．如圖所示，一長(zhǎng)木板在水平地面上向右運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻將一相對(duì)于地面靜止的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）輕放到木板的右端．物塊和木板的質(zhì)量相等，物塊與木板的上表面之間有恒定的動(dòng)摩擦因數(shù)，長(zhǎng)木板與地面之間也有恒定的動(dòng)摩擦因數(shù)，且物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．已知物塊放到木板上時(shí)木板的速度v₀=5.0m/s，物塊放在木板上先做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t₁=0.50s速度達(dá)到v₁=1.0m/s時(shí)開(kāi)始做勻減速運(yùn)動(dòng)，最終物塊停在木板上的中點(diǎn)位置．取重力加速度g=10m/s²，求：
（1）木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）木板的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)加速度公式求出物塊放在木板上后先做加速運(yùn)動(dòng)的加速度，然后根據(jù)牛頓第二定律求出物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)，
由題意可知物塊所受摩擦力的方向變化，即為物塊與木板的速度大小相等的時(shí)刻，進(jìn)而求出木板的加速度，然后根據(jù)牛頓第二定律求出木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）根據(jù)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)公式和牛頓第二定律求出物塊、木板勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng)的位移，進(jìn)而得出物塊和木板的總位移，根據(jù)二者位移的關(guān)系求出木板的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）物塊放在木板上后先做加速運(yùn)動(dòng)，其加速度：
a₁=$\frac{{v}_{1}}{{t}_{1}}$=$\frac{1.0}{0.50}$m/s²=2m/s²，
設(shè)物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁，對(duì)物塊，根據(jù)牛頓第二定律有，
f₁=μ₁mg=ma₁，
解得：μ₁=0.20，
在t₁=0.50s時(shí)，物塊將由加速變?yōu)闇p速，表明其所受摩擦力的方向變化，即物塊與木板間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化，因此t₁=0.50時(shí)物塊與木板的速度大小相等．
因此在t₁=0.50s時(shí)間內(nèi)，木板的加速度：
a₂=$\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{t}_{1}}$=$\frac{5-1}{0.50}$m/s²=8.0m/s²，
設(shè)木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂，
對(duì)于木板在t₁=0.50時(shí)間內(nèi)，根據(jù)牛頓第二定律有：
μ₁mg+μ₂2mg=ma₂，
解得：μ₂=0.30．
（2）物塊在t₁=0.50s時(shí)間內(nèi)的位移：
x₁₁=$\frac{{v}_{1}{t}_{1}}{2}$=$\frac{1.0×0.50}{2}$m=0.25m，
t₁=0.50s后做減速運(yùn)動(dòng)的加速度：
a₁′=μ₁g=2.0m/s²，
物塊減速運(yùn)動(dòng)的位移：
x₁₂═$\frac{{v}_{1}{t}_{1}}{2}$=$\frac{1.0×0.50}{2}$m=0.25m，
設(shè)在t₁=0.50s后木板做減速運(yùn)動(dòng)的加速度a₂′，
根據(jù)牛頓第二定律有
μ₂2mg-μ₁mg=ma₂′
解得：a₂′=4m/s²，
由于 a₂′＞a₁′，所以一定是木板的速度先減為0．
在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物塊向右的位移
x₁=x₁₁+x₁₂=0.50m，
木板在t₁=0.50s時(shí)間內(nèi)的位移
x₂₁=$\overline v$t₁=$\frac{{{v_0}+{v_1}}}{2}{t_1}$=1.5m，
在t₁=0.50s后的減速運(yùn)動(dòng)到靜止所過(guò)程的位移
x₂₂=$\frac{v_1^2}{2a'}$=0.125m，
在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，木板向右的位移
x₂=x₂₁+x₂₂=1.625m，
設(shè)木板長(zhǎng)度為L(zhǎng)，
依題意應(yīng)有：$\frac{1}{2}$L=x₂-x₁=1.125m，
解得：L=2.25m．
答：（1）木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.30；
（2）木板的長(zhǎng)度為2.25m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清物塊和木板在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，本題分析兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是關(guān)鍵．