Question

1．如圖所示，木板與水平地面間的夾角θ可以隨意改變，當(dāng)θ=30°時(shí)，可視為質(zhì)點(diǎn)的一小木塊恰好能沿著木板勻速下滑．若讓該小木塊從木板的底端以大小恒定的初速率v₀的速度沿木板向上運(yùn)動(dòng)，隨著θ的改變，小物塊沿木板向上滑行的距離x將發(fā)生變化，重力加速度為g．
（1）求小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）當(dāng)θ角為何值時(shí)，小物塊沿木板向上滑行的距離最小，并求出此最小值．

Answer 1

分析 （1）θ=30°時(shí)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小木塊恰好能沿著木板勻速下滑，根據(jù)平衡條件列方程求出摩擦因數(shù)；
（2）根據(jù)牛頓第二定律得出速度的表達(dá)式，然后根據(jù)位移公式得到上滑距離x的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求x的極值．

解答 解：（1）當(dāng)θ=30°時(shí)，木塊處于平衡狀態(tài)，對(duì)木塊受力分析：
mgsin θ=μF_N
F_N-mgcos θ=0
解得：μ=tanθ=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）當(dāng)θ變化時(shí)，設(shè)沿斜面向上為正方向，木塊的加速度為a，則：-mgsin θ-μmgcos θ=ma
由0-${v}_{0}^{2}$=2ax得：$x=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+α）}$
令tan α=μ，則當(dāng)α+θ=90°時(shí)，x最小，即θ=60°
所以x最小值為：${x}_{min}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sin60°+μcos60°）}=\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4g}$
答：（1）小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）當(dāng)θ=60°時(shí)，小物塊沿木板上滑的距離最小，此最小值為$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4g}$．

點(diǎn)評(píng) 本題第二問(wèn)中求加速度和位移是物理學(xué)中的常規(guī)問(wèn)題，關(guān)鍵是由數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)求極值，要重視數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用．