Question

13．控制帶電粒子的運動在現(xiàn)代科學實驗、生產(chǎn)生活、儀器電器等方面有廣泛的應用．現(xiàn)有這樣一個簡化模型：如圖所示，y軸左、右兩邊均存在方向垂直紙面向里的勻強磁場，右邊磁場的磁感應強度始終為左邊的2倍．在坐標原點O處，一個電荷量為+q、質量為m的粒子a，在t=0時以大小為v₀的初速度沿x軸正方向射出，另一與a相同的粒子b某時刻也從原點O以大小為v₀的初速度沿x軸負方向射出．不計粒子重力及粒子間的相互作用，粒子相遇時互不影響．
（1）若a粒子能經(jīng)過坐標為（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$l，$\frac{1}{2}$l）人P點，求y軸右邊磁場的磁感應強度B₁
（2）為使粒子a、b能在y軸上Q（0，-l₀）點相遇，求y軸右邊磁場的磁感應強度的最小值B₂；
（3）若y軸右邊磁場的磁感應強度為B₀，求粒子a、b在運動過程中可能相遇的坐標值．

Answer 1

分析 兩個帶電粒子在兩個勻強磁場中向不同方向做勻速圓周運動，涉及相遇、多解等問題，是該專題的難點．
（1）a粒子向右做勻速圓周運動通過某點，根據(jù)該點的坐標，用勾股定理求出半徑，再由洛侖茲力提供向心力求得右邊磁場的磁感應強度．
（2）右邊磁感應強度B₂最小，說明Q點是a、b粒子在y軸上第一次相遇的點，畫出a、b粒子的軌跡，由相遇點的坐標找到半徑，同樣洛侖茲力提供向心力，也就求出了磁感應強度的最小值．
（3）畫出a、b粒子的運動軌跡，由圖知：只有在兩軌跡相交或相切的那些點，才有相遇的可能性，所以有y軸上的相切點和 y軸左側的相交點．經(jīng)分析可知，只要a、b粒子從O點出發(fā)的時間差滿足 一定的條件，這些相交或相切的點均能相遇．通過分析，相切點只能y軸上、相遇點在y軸左側且滿足一定關系．

解答 解：（1）設a粒子在y軸右側運動的半徑為R₁，由幾何關系有：
   $（{R}_{1}-\frac{1}{2}l）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}l）^{2}={{R}_{1}}^{2}$  
  由于  ${B}_{1}q{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{1}}$                                                                    
  解得  ${B}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{ql}$                  
（2）B₂最小，說明Q點是a、b粒子在y軸上第一次相遇的點，由圖乙可知，a、b粒子同時從O點  出發(fā)，且粒子在y軸右側運動的圓周運動半徑為：${R}_{2}=\frac{{l}_{0}}{2}$
  又  ${B}_{2}q{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{2}}$                
  解得：${B}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{q{l}_{0}}$                 
（3）由圖丙可見，只有在兩軌跡相交或相切的那些點，才有相遇的可能性，所以有y軸  上的相切點和 y軸左側的相交點．經(jīng)分析可知，只要a、b粒子從O點出發(fā)的時間差滿足  一定的條件，這些相交或相切的點均能相遇．
  粒子在y軸右側的運動半徑為：${r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{{B}_{0}q}$ 
  粒子在y軸左側的運動半徑為：${r}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{{B}_{0}q}$        
①y軸上的相切點坐標為$（0，-\frac{2km{v}_{0}}{{B}_{0}q}）$     （k=1，2，3，…）         
②y軸左側的相交點相遇，由丙圖可知，OA=AC=OC=r₂
可得：${x}_{A}=-{r}_{2}sin60°=-\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{{B}_{0}q}$     
${y}_{A}=-{r}_{2}cos60°=-\frac{m{v}_{0}}{{B}_{0}q}$     
y軸左側的相遇點的坐標為：

$[-\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{{B}_{0}q}，-\frac{（2n-1）m{v}_{0}}{{B}_{0}q}]$    （n=1，2，3，…）

答：（1）若a粒子能經(jīng)過坐標為（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$l，$\frac{1}{2}$l）人P點，y軸右邊磁場的磁感應強度B₁的大小為$\frac{m{v}_{0}}{ql}$．
（2）為使粒子a、b能在y軸上Q（0，-l₀）點相遇，求y軸右邊磁場的磁感應強度的最小值B₂大小為$\frac{2m{v}_{0}}{q{l}_{0}}$．
（3）若y軸右邊磁場的磁感應強度為B₀，粒子a、b在運動過程中可能相遇的坐標值分兩種情況：①y軸上的相切點坐標為$（0，-\frac{2km{v}_{0}}{{B}_{0}q}）$     （k=1，2，3，…）；   ②y軸左側的相遇點的坐標為$[-\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{{B}_{0}q}，-\frac{（2n-1）m{v}_{0}}{{B}_{0}q}]$（n=1，2，3，…）．

點評 本題的難點在于第三問的多解：由于粒子在左側的半徑是右側的2倍，先畫出粒子的運動軌跡，找到在y軸上能夠相切的點的坐標，顯然是右側半徑的整數(shù)倍；再分析能夠在y軸左側相交的坐標，顯然相關點構成等邊三角形．