Question

13．如圖甲所示，在平行邊界MN、PQ之間存在寬度為L的勻強電場，電場周期性變化的規(guī)律如圖乙所示，取豎直向下為電場正方向；在平行邊界MN、EF之間存在寬度為s、方向垂直紙面向里的勻強磁場區(qū)域Ⅱ，在PQ右側(cè)有寬度足夠大、方向垂直紙面向里的勻強磁場區(qū)域I．在區(qū)域I中距PQ距離為L的A點，有一質(zhì)量為m、電荷量為q、重力不計的帶正電粒子以初速度v₀沿豎直向上方向開始運動，以此作為計時起點，再經(jīng)過一段時間粒子又恰好回到A點，如此循環(huán)，粒子循環(huán)運動一周，電場恰好變化一個周期，已知粒子離開區(qū)域I進入電場時，速度恰好與電場方向垂直，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6．
（1）求區(qū)域I的磁場的磁感應(yīng)強度大小B₁．
（2）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要實現(xiàn)上述循環(huán)，確定區(qū)域Ⅱ的磁場寬度s的最小值以及磁場的磁感應(yīng)強度大小B₂．
（3）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要實現(xiàn)上述循環(huán)，求電場的變化周期T．

Answer 1

分析 （1）粒子在區(qū)域Ⅰ中做圓周運動，運用牛頓第二定律洛侖茲力提供向心力，結(jié)合幾何關(guān)系即可；
（2）粒子在電場中做類平拋運動，根據(jù)運動的合成和分解結(jié)合牛頓第二定律、運動學(xué)規(guī)律以及幾何關(guān)系，求解進入磁場的速度大小和方向；在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系即可；
（3）電場變化的周期等于粒子運動的周期，對粒子的圓周運動過程和類平拋運動過程分別求解時間，加和即可．

解答 解：（1）粒子在區(qū)域I做圓周運動的半徑R=L
由洛倫茲力提供向心力得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：B₁=$\frac{{mv}_{0}}{qL}$
（2）粒子在電場中做類平拋運動，
離開電場時沿電場方向的速度：v_y=at=$\frac{q{E}_{0}}{m}•\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{4}{3}{v}_{0}$
離開電場時速度的偏轉(zhuǎn)角為θ，根據(jù)幾何關(guān)系：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{4}{3}$，θ=53°
所以粒子離開電場時的速度：v=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}$=$\frac{5}{3}{v}_{0}$
粒子在電場中偏轉(zhuǎn)的距離：y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$•（$\frac{L}{{v}_{0}}$）²=$\frac{2}{3}L$
畫出粒子運動軌跡的示意圖如圖所示，粒子在區(qū)域II做圓周運動的圓心O₂與在區(qū)域I做圓周運動的圓心O₁的連線必須與邊界垂直才能完成上述運動，
由幾何關(guān)系知粒子在區(qū)域II做圓周運動的半徑：r=$\frac{L-\frac{2}{3}L}{cos53°}$=$\frac{5}{9}L$
所以s≥r（1-sin53°）=$\frac{L}{9}$
根據(jù)r=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$
解得B₂=$\frac{3m{v}_{0}}{qL}$
（3）電場變化的周期等于粒子運動的周期
粒子在區(qū)域I中運動的時間t₁=$\frac{πL}{{v}_{0}}$
粒子在電場中運動的時間t₂=$\frac{2L}{{v}_{0}}$
粒子在區(qū)域II中運動的時間t₃=$\frac{37°}{180°}•\frac{2πr}{v}$=$\frac{37πL}{27{0v}_{0}}$
所以周期T=t₁+t₂+t₃=$\frac{307π+540}{27{0v}_{0}}L$
答：（1）區(qū)域I的磁場的磁感應(yīng)強度大小B₁為$\frac{{mv}_{0}}{qL}$．
（2）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要實現(xiàn)上述循環(huán)，區(qū)域Ⅱ的磁場寬度s的最小值為$\frac{L}{9}$，磁場的磁感應(yīng)強度大小B₂為$\frac{3m{v}_{0}}{qL}$．
（3）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要實現(xiàn)上述循環(huán)，電場的變化周期T為$\frac{307π+540}{27{0v}_{0}}L$．

點評 本題考查：帶電粒子在電磁場中的類平拋運動和帶電粒子在磁場中的勻速圓周運動．偏轉(zhuǎn)電場中用類平拋的規(guī)律去解決，即運動的合成和分解，再針對分運動運用牛頓第二定律結(jié)合運動學(xué)規(guī)律；分析時要畫出過程圖，這樣便于找到幾何關(guān)系．