【題目】已知函數(shù).

（1）當時，證明：在上恒成立；

（2）若函數(shù)有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【題目】已知橢圓C：（）的兩焦點與短軸兩端點圍成面積為12的正方形.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)我們稱圓心在橢圓上運動，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”.過原點O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A、B兩點，若直線、的斜率為、，當時，求此時“衛(wèi)星圓”的個數(shù).

【題目】某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗次；（2）混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗．若檢驗結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為．

（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率．

（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為

（ⅰ）試運用概率統(tǒng)計的知識，若 ，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（ⅱ）若，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求的最大值．

參考數(shù)據(jù)：，，，，

【題目】為迎接2022年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求的值；

（2）估計這100名學生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（3）在抽取的100名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”．請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

參考公式及數(shù)據(jù)：

【題目】如圖，正三棱柱各條棱的長度均相等，為的中點，分別是線段和線段的動點（含端點），且滿足，當運動時，下列結(jié)論中不正確的是

A. 在內(nèi)總存在與平面平行的線段

B. 平面平面

C. 三棱錐的體積為定值

D. 可能為直角三角形

【題目】如圖，在等腰中，斜邊，為直角邊上的一點，將沿直線折疊至的位置，使得點在平面外，且點在平面上的射影在線段上設(shè)，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

【題目】瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作，中，，點，點，且其“歐拉線”與圓相切，則該圓的直徑為（ ）

A.1B.C.2D.

【題目】惠州市某商店銷售某海鮮，經(jīng)理統(tǒng)計了春節(jié)前后50天該海鮮的日需求量（，單位：公斤），其頻率分布直方圖如下圖所示.該海鮮每天進貨1次，每銷售1公斤可獲利40元；若供大于求，剩余的海鮮削價處理，削價處理的海鮮每公斤虧損10元；若供不應求，可從其它商店調(diào)撥，調(diào)撥的海鮮銷售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店該海鮮每天的進貨量為14公斤，商店銷售該海鮮的日利潤為元.

（1）求商店日利潤關(guān)于日需求量的函數(shù)表達式.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，

①估計這50天此商店該海鮮日需求量的平均數(shù).

②假設(shè)用事件發(fā)生的頻率估計概率，請估計日利潤不少于620元的概率.

A. B. C. D.

【題目】平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.且曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程以及曲線的直角坐標方程；

（2）若點的極坐標為，直線與曲線交于兩點，求的值