Question

如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是線段PA上一動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）若PC∥平面MEF，試求PM：MA的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連結(jié)BD，通過(guò)證明EF⊥平面PAC，然后證明平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）法一：利用直線與平面平行，通過(guò)相似比直接推出PM：MA的值．
法二：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，推出點(diǎn)M為線段PA上靠近P的四等分點(diǎn)，得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）連結(jié)BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，
又∵BD⊥AC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
又∵E，F(xiàn)分別是BC、CD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，
∴EF⊥平面PAC，又EF?平面NEF，∴平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）法1：連結(jié)OM，∵PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，∴PC∥OM，
∴

PM

PA

=

OC

AC

=

1

4

，故PM：MA=1：3
法2：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則P（0，0，4），C（4，4，0），E（4，2，0），F(xiàn)（2，4，0），
∴

PC

=(4，4，-4)，

EF

=(-2，2，0)，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0，m），平面MEF的法向量為

n

=(x，y，z)，則

ME

=(4，2，-m)，
所以

n • ME =0 n • EF =0

，即

4x+2y-mz=0 -2x+2y=0

，
令x=1，則y=1，z=

6

m

，故

n

=(1，1，

6

m

)，
∵PC∥平面MEF，∴

PC

•

n

=0，即4+4-

24

m

=0，解得m=3，
故AM=3，即點(diǎn)M為線段PA上靠近P的四等分點(diǎn)；
故PM：MA=1：3

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面的垂直，直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．