【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，.

（1）求的值；

（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；

（3）對(duì)任意的，，在數(shù)列中是否存在連續(xù)的項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，寫(xiě)出這項(xiàng)，并證明這項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1），，；（2）證明見(jiàn)解析，（3）存在；在數(shù)列中，這連續(xù)的項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）2,4為偶數(shù)，代入，可得，同理3,5代入，可得；（2）根據(jù)等式，分別表示出和，，由于是偶數(shù)，故用到部分，那么整理化簡(jiǎn)，可證得是等比數(shù)列，再令n=1可求出，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式；（3）先觀察數(shù)列的前7項(xiàng)，進(jìn)而猜得這連續(xù)的項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（1）因?yàn)?/span>，所以，，

；

（2）由題意，對(duì)于任意的正整數(shù)，，所以

又所以.

又

所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，

所以

（3）存在，事實(shí)上，對(duì)任意的，，在數(shù)列中，

這連續(xù)的項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列

我們先用數(shù)學(xué)歸納法證明：

“對(duì)任意的，，，，有”

1）時(shí)，，，命題成立

2）假設(shè)時(shí)命題成立，則時(shí)，對(duì)任意，

（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

（用到歸納假設(shè)）

.

（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

（用到歸納假設(shè)）

由（1）（2）可知，命題對(duì)也成立；

綜合1）2）可得：“對(duì)任童的，，有”

對(duì)任意的，，

，其中，

所以

所以這連續(xù)的項(xiàng)，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若數(shù)列對(duì)任意的，都有，且，則稱(chēng)數(shù)列為“k級(jí)創(chuàng)新數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列滿(mǎn)足且，試判斷數(shù)列是否為“2級(jí)創(chuàng)新數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

（2）已知正數(shù)數(shù)列為“k級(jí)創(chuàng)新數(shù)列”且，若，求數(shù)列的前n項(xiàng)積；

（3）設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，令，在（2）的條件下，記數(shù)列的通項(xiàng)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若為整數(shù)，且，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，，平面PAB，，點(diǎn)E滿(mǎn)足.

（1）證明：；

（2）求二面角A-PD-E的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn).

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否具有唯一零點(diǎn)，說(shuō)明理由：

（2）已知向量，，，證明在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn).

（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】螞蟻森林是支付寶客戶(hù)端為首期“碳賬戶(hù)”設(shè)計(jì)的一款公益行動(dòng)：用戶(hù)通過(guò)步行、地鐵出行、在線繳納水電煤氣費(fèi)、網(wǎng)絡(luò)掛號(hào)、網(wǎng)絡(luò)購(gòu)票等行為就會(huì)減少相應(yīng)的碳排放量，可以用來(lái)在支付寶里養(yǎng)一棵虛擬的樹(shù).這棵樹(shù)長(zhǎng)大后，公益組織、環(huán)保企業(yè)等螞蟻生態(tài)伙伴們可以在現(xiàn)實(shí)沙漠化地區(qū)（阿拉善、通遼、庫(kù)布齊等）種下一棵實(shí)體的樹(shù)目前通遼地區(qū)對(duì)部分基地樟子松幼苗的培育技術(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，為了了解改進(jìn)后的效果，現(xiàn)從改進(jìn)前后的樹(shù)苗培育基地各抽取了株產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)其同樣生長(zhǎng)周期的高度（單位：），若高度不低于才適合移植，否則繼續(xù)等待生長(zhǎng)圖1是改進(jìn)前的樣本的頻率分布直方圖，表2是改進(jìn)后的樣本頻率分布表.

圖1

表2技術(shù)改進(jìn)后樣本的頻率分布表

高度

頻數(shù)

（1）根據(jù)圖1和表2提供的信息，試從移植率的角度對(duì)培育技術(shù)改進(jìn)前后的優(yōu)劣進(jìn)行比較；

（2）估計(jì)培育技術(shù)未改進(jìn)的基地樹(shù)苗高度的平均數(shù)；

（3）在市場(chǎng)中，規(guī)定高度在內(nèi)的為三等苗，內(nèi)的為二等苗，內(nèi)的為一等苗.現(xiàn)從表2高度不低于的樹(shù)苗樣本中采用分層抽樣的方法抽取株，再?gòu)倪@株幼苗中隨機(jī)抽取株，求這株中一、二、三等苗都有的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求證：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；

（2）記為函數(shù)的反函數(shù)．若關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍；

（3）若對(duì)于恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】圖（1）為東方體育中心，其設(shè)計(jì)方案?jìng)?cè)面的外輪廓線如圖（2）所示；曲線是以點(diǎn)為圓心的圓的一部分，其中，曲線是拋物線的一部分；且恰好等于圓的半徑，與圓相切且.

（1）若要求米，米，求與的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若要求不超過(guò)45米，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上分別為左、右焦點(diǎn)，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，且．

（1）求橢圓方程；

（2）對(duì)于x軸上的某一點(diǎn)T，過(guò)T作不與坐標(biāo)軸平行的直線L交橢圓于兩點(diǎn)，若存在x軸上的點(diǎn)S，使得對(duì)符合條件的L恒有成立，我們稱(chēng)S為T的一個(gè)配對(duì)點(diǎn)，當(dāng)T為左焦點(diǎn)時(shí)，求T的配對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）條件下討論當(dāng)T在何處時(shí)，存在有配對(duì)點(diǎn)？

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