【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,O是坐標(biāo)原點(diǎn),是等腰直角三角形,且周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l與AF垂直,且交橢圓于B,C兩點(diǎn),求面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)依題意求出,,的值,即可求出橢圓方程;
(2)由(1)可得直線的斜率,則可設(shè)直線的方程為,
聯(lián)立直線與橢圓方程,利用根的判別式求出參數(shù)的范圍,設(shè),,利用韋達(dá)定理及點(diǎn)到線的距離公式表示出及點(diǎn)到直線的距離,則利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最值;
解:(1)在中,,,則,
因?yàn)?/span>是等腰直角三角形,且周長為,
所以,,,
得,,
因此橢圓的方程為.
(2)由(1)知,,則直線的斜率,
因?yàn)橹本與垂直,所以可設(shè)直線的方程為,
代入,得,
則,解得,
所以.
設(shè),,則,,.
又點(diǎn)到直線的距離,
所以,.
令,
則,
令,則或,
令,則或.
因此在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),
在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
因?yàn)?/span>,,,
所以當(dāng)時(shí),取得最大值,,
所以,
因此面積的最大值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列,其中.
(1)若滿足.
①當(dāng),且時(shí),求的值;
②若存在互不相等的正整數(shù),滿足,且成等差數(shù)列,求的值.
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,若,,且恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)(,e是自然對數(shù)的底數(shù),)存在唯一的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點(diǎn)圖(如圖).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中,.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒開一壺水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)
(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量成正比,那么為多少時(shí)燒開一壺水最省煤氣?
附:對于一組數(shù)據(jù),…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線,的普通方程;
(2)已知點(diǎn),若曲線,交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸,動(dòng)直線垂直于直線于點(diǎn),線段的中垂線交于點(diǎn).記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程,并說明是什么曲線;
(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn)、,則在圓上是否存在兩點(diǎn)、,使得,?若存在,請求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面內(nèi)與兩定點(diǎn),連線的斜率之積等于的點(diǎn)的軌跡,加上、兩點(diǎn)所成的曲線為.若曲線與軸的正半軸的交點(diǎn)為,且曲線上的相異兩點(diǎn)、滿足.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在(為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線方程;
(2)若對任意的,均有,則稱為在區(qū)間上的下界函數(shù),為在區(qū)間上的上界函數(shù).
①若,求證:為在上的上界函數(shù);
②若,為在上的下界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線E:()與圓O:相交于A,B兩點(diǎn),且.過劣弧上的動(dòng)點(diǎn)作圓O的切線交拋物線E于C,D兩點(diǎn),分別以C,D為切點(diǎn)作拋物線E的切線,,相交于點(diǎn)M.
(1)求拋物線E的方程;
(2)求點(diǎn)M到直線距離的最大值.
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