【題目】已知函數(shù).

1)求函數(shù)的圖象在為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線方程;

2)若對任意的,均有,則稱在區(qū)間上的下界函數(shù),在區(qū)間上的上界函數(shù).

①若,求證:上的上界函數(shù);

②若,上的下界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】1;(2)①證明見解析;②.

【解析】

1)求出的值,利用點(diǎn)斜式可求得所求切線的方程;

2)①利用導(dǎo)數(shù)得出,可得出,結(jié)合題中定義可得出結(jié)論;

②由題意得出對任意的恒成立,利用參變量分離法得出,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)上的最小值,由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

1)因?yàn)?/span>,所以,

所以函數(shù)的圖象在處的切線斜率.

又因?yàn)?/span>,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為

2)①由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

,得.

所以當(dāng)時,;當(dāng)時,.

故函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

所以.

因?yàn)?/span>,所以,

故當(dāng)時,上恒成立,所以上單調(diào)遞增,

從而,所以,即,

所以函數(shù)上的上界函數(shù);

②因?yàn)楹瘮?shù)上的下界函數(shù),

所以,即.

因?yàn)?/span>,所以,故.

,,則.

設(shè),則,

所以當(dāng)時,,從而函數(shù)上單調(diào)遞增,

所以,

上恒成立,所以函數(shù)上單調(diào)遞增,

從而.

因?yàn)?/span>上恒成立,所以上恒成立,

,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在銳角ABC中,a2,_______,求ABC的周長l的范圍.

在①(﹣cos,sin),(cossin),且,②cosA(2bc)=acosC,③f(x)=cosxcos(x),f(A)

注:這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在上面問題中并對其進(jìn)行求解.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,O是坐標(biāo)原點(diǎn),是等腰直角三角形,且周長為.

1)求橢圓的方程;

2)若直線lAF垂直,且交橢圓于B,C兩點(diǎn),求面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

1)證明:,

2)令

①求的最大值;

②如果,且,證明:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2020年是我國全面建成小康社會和十三五規(guī)劃收官之年,也是佛山在經(jīng)濟(jì)總量超萬億元新起點(diǎn)上開啟發(fā)展新征程的重要?dú)v史節(jié)點(diǎn).作為制造業(yè)城市,佛山一直堅(jiān)持把創(chuàng)新擺在制造業(yè)發(fā)展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成為面向全球的國家制造業(yè)創(chuàng)新中心,走世界科技+佛山智造+全球市場的創(chuàng)新發(fā)展之路.在推動制造業(yè)高質(zhì)量發(fā)展的大環(huán)境下,佛山市某工廠統(tǒng)籌各類資源,進(jìn)行了積極的改革探索.下表是該工廠每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x)(件)與相應(yīng)的生產(chǎn)總成本y(萬元)的四組對照數(shù)據(jù).

x

5

7

9

11

y

200

298

431

609

工廠研究人員建立了yx的兩種回歸模型,利用計(jì)算機(jī)算得近似結(jié)果如下:

模型①:

模型②:.

其中模型①的殘差(實(shí)際值-預(yù)報(bào)值)圖如圖所示:

1)根據(jù)殘差分析,判斷哪一個模型更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程?并說明理由;

2)市場前景風(fēng)云變幻,研究人員統(tǒng)計(jì)歷年的銷售數(shù)據(jù)得到每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格q(萬元)是一個與產(chǎn)量x相關(guān)的隨機(jī)變量,分布列為:

q

P

0.5

0.4

0.1

結(jié)合你對(1)的判斷,當(dāng)產(chǎn)量x為何值時,月利潤的預(yù)報(bào)期望值最大?最大值是多少(精確到0.1)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我國是全球最大的口罩生產(chǎn)國,在20203月份,我國每日口罩產(chǎn)量超一億只,已基本滿足國內(nèi)人民的需求,但隨著疫情在全球范圍擴(kuò)散,境外口罩需求量激增,世界衛(wèi)生組織公開呼吁擴(kuò)大口罩產(chǎn)能常見的口罩有(分別阻擋不少于90.0%95.0%0.0550.095微米的氯化鈉顆粒)兩種,某口罩廠兩條獨(dú)立的生產(chǎn)線分別生產(chǎn)兩種口罩,為保證質(zhì)量對其進(jìn)行多項(xiàng)檢測并評分(滿分100分),規(guī)定總分大于或等于85分為合格,小于85分為次品,現(xiàn)從流水線上隨機(jī)抽取這兩種口罩各100個進(jìn)行檢測并評分,結(jié)果如下:

總分

6

14

42

31

7

4

6

47

35

8

1)試分別估計(jì)兩種口罩的合格率;

2)假設(shè)生產(chǎn)一個口罩,若質(zhì)量合格,則盈利3元,若為次品則虧損1元;生產(chǎn)一個口罩,若質(zhì)量合格,則盈利8元,若為次品則虧損2元,在(1)的前提下,

①設(shè)為生產(chǎn)一個口罩和生產(chǎn)一個口罩所得利潤的和,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;

②求生產(chǎn)4口罩所得的利潤不少于8元的概率

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中心在原點(diǎn)的橢圓E的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對稱,且橢圓E與坐標(biāo)軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為.

1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)過點(diǎn)的直線l(直線的斜率k存在且不為0)交EA,B兩點(diǎn),交x軸于點(diǎn)P點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D,直線BDx軸于點(diǎn)Q.試探究是否為定值?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】疫情后,為了支持企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn),某地政府決定向當(dāng)?shù)仄髽I(yè)發(fā)放補(bǔ)助款,其中對納稅額在萬元至萬元(包括萬元和萬元)的小微企業(yè)做統(tǒng)一方案.方案要求同時具備下列兩個條件:①補(bǔ)助款(萬元)隨企業(yè)原納稅額(萬元)的增加而增加;②補(bǔ)助款不低于原納稅額(萬元)的.經(jīng)測算政府決定采用函數(shù)模型(其中為參數(shù))作為補(bǔ)助款發(fā)放方案.

1)判斷使用參數(shù)是否滿足條件,并說明理由;

2)求同時滿足條件①、②的參數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為:,傾斜角為銳角的直線l過點(diǎn)與單位圓相切.

1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程;

2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求的值.

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