Question

已知正項數列{a_n}，其前n項和S_n滿足4S_n=a_n²+2a_n-8，數列{b_n}是等差數列，b₁=

3

-5，b₂=

3

-11．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=

Sn

n

+bn，數列{c_n}中是否存在不同的三項構成等比數列？若存在，請指出符合條件的項滿足的條件：若不存在．請說明理由．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用4S_n=a_n²+2a_n-8，再寫一式，兩式相減，結合數列{a_n}是正項數列，可求數列{a_n}的通項公式，利用數列{b_n}是等差數列，b₁=

3

-5，b₂=

3

-11，求出公差，即可求數列{b_n}的通項公式；
（2）求出數列{c_n}的通項，假設數列{c_n}中存在不同的三項構成等比數列，利用等比數列的性質，建立等式，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵4S_n=a_n²+2a_n-8，
∴n≥2時，4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1-8，
兩式相減可得4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數列{a_n}是正項數列，
∴a_n-a_n-1=2，
∵n=1時，4S₁=a₁²+2a₁-8，
∴a₁=4，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2，
∵數列{b_n}是等差數列，b₁=

3

-5，b₂=

3

-11，
∴d=-6，
∴b_n=（

3

-5）-6（n-1）=-6n+

3

+1；
（2）4S_n=a_n²+2a_n-8=（2n+2）²+2（2n+2）-8=4n²+12n，
∴S_n=n²+3n，
∴c_n=

Sn

n

+bn=n+3-6n+

3

+1=-5n+

3

+4，
設數列{c_n}中存在不同的三項構成等比數列，則
（-5n+

3

+4）²=（-5m+

3

+4）（-5p+

3

+4），
∴25n²-25mp=10（

3

+4）（n-m-p），
∵等式左邊是有理數，
∴

n2=mp n=m+p

，
∴（m+p）²=mp，
∴m²+mp+p²=0，
∵方程無解，
∴數列{c_n}中不存在不同的三項構成等比數列．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查等比數列的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．