Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

（2）是否同時存在實數(shù)和正整數(shù),使得函數(shù)在上恰有2019個零點若存在,請求出所有符合條件的和的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案見解析

【解析】

（1）化簡得:,則當(dāng)時,, 要使對任意恒成立,令,則,對任意恒成立,即可求得答案.

（2）若同時存在實數(shù)和正整數(shù)滿足條件,函數(shù)在上恰有2019個零點,即函數(shù)與直線在上恰有2019個交點,對進行討論,即可求得答案.

（1）化簡:

當(dāng)時,,

,則

要使對任意恒成立,

令,則,對任意恒成立,

只需

解得,

實數(shù)的取值范圍為.

（2）假設(shè)同時存在實數(shù)和正整數(shù)滿足條件,函數(shù)在上恰有2019個零點,即函數(shù)與直線在上恰有2019個交點

當(dāng)時,,

①當(dāng)或時,函數(shù)與直線在上無交點,

②當(dāng)或時,函數(shù)與直線在上僅有一個交點,

此時要使函數(shù)與直線在上恰有2019個交點,則;

③當(dāng)或時,函數(shù)與直線在上有兩個交點,

此時函數(shù)與直線在上有偶數(shù)個交點,不可能有2019個交點,不符合;

④當(dāng)時,函數(shù)與直線在上有2個交點,

此時要使函數(shù)與直線在上恰有2019個交點,則;

綜上所述,存在實數(shù)和正整數(shù)滿足條件:

當(dāng)時,;

當(dāng)時,;

當(dāng)時,.