Question

5．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PC=5，PB=4，AB=BC=2$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，PA=PC=5，PB=4，AB=BC=2$\sqrt{3}$，∠ACB=30°．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點D，連接PD、BD，利用三線合一得出PD⊥AC，BD⊥AC，于是AC⊥平面PBD，從而得出AC⊥PB；
（2）計算AC，PD從而得出PB=PD，求出△PBD的面積，則V_P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△PBD•AC．求解即可．

解答 解：（1）證明：取AC的中點D，連接PD、BD．
∵AB=BC，PA=AC，D為AC的中點，
∴PD⊥AC，BD⊥AC，
又BD?平面PBD，PD?平面PBD，BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PBD．
∵PB?平面PBD，
∴AC⊥PB．
（2）V_P-ABC=V_P-ABD+V_P-BCD=V_A-PBD+V_C-PBD
在△ABC中，AB=BC，∠ACB=30°，D是AC中點
∴$BD=\sqrt{3}$，AD=DC=3在△PCD中，PD⊥DC，PC=5，DC=3，∴PD=4
∴${S_{△PBD}}=\frac{1}{2}×\sqrt{{4^2}-{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{183}}}{4}$，
V_A-PBD=$\frac{1}{3}$×S_△PBD×AD=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{183}}{4}×3$=$\frac{\sqrt{183}}{4}$，
又${V_{C-PBD}}={V_{A-PBD}}=\frac{{\sqrt{183}}}{4}$，
∴${V_{P-ABC}}={V_{A-PBD}}+{V_{C-PBD}}=\frac{{\sqrt{183}}}{2}$

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．