Question

20．一邊長為2的正三角形ABC的兩個頂點A、B在平面α上，另一個頂點C在平面α上的射影為C'，則三棱錐A-BC'C的體積的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設AB的中點為D，連接CD，C′D，設平面ABC與平面α所成的角為θ，求出S_△CDC′，證明AB⊥平面CDC′，則V_C-ABC′=$\frac{1}{3}{S}_{△CDC′}•AB$=$\frac{1}{2}$sin2θ，從而得出體積的最大值．

解答 解：設AB的中點為D，連接CD，C′D，
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴AB⊥CD，CD=$\sqrt{3}$．
∵CC′⊥α，AB?α，
∴CC′⊥AB，又CD∩CC′=C，
∴AB⊥平面CDC′，
∴∠CDC′為平面ABC與平面α所成的角，
設∠CDC′=θ，則CC′=CDsinθ=$\sqrt{3}$sinθ，C′D=$\sqrt{3}$cosθ，
∴S_△CDC′=$\frac{1}{2}CD•C′D$=$\frac{3}{2}$sinθcosθ=$\frac{3}{4}$sin2θ，
∴V_C-ABC′=$\frac{1}{3}{S}_{△CDC′}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}sin2θ×2$=$\frac{1}{2}$sin2θ，
∴當2θ=$\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{4}$時，V取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了項目垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．