Question

【題目】如圖，在三棱錐中，是邊長為1的正三角形，，.

（1）求證：；

（2）點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面內(nèi)的射影為點(diǎn)，證明：平面；

（3）求直線和平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，由已知得，，由此能證明平面，從而證明．

（2）可得為等邊三角形，由，可得為的中點(diǎn)，即，從而得到平面；

（3）由（1）得平面平面，可得PB在平面面內(nèi)的攝影為，由（2）得為等邊三角形，即可得直線和平面所成角的大小．

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，

是邊長為的正三角形，．

，，，平面，

平面，且平面，

.

（2），得，

又，

為等邊三角形．

，為的中點(diǎn)，

又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，．

且平面，平面．

平面.

（3）由（1）知平面，而平面，

所以平面平面，

所以在平面內(nèi)的射影為，

所以為直線和平面所成的角，

由（2）得為等邊三角形，

所以.

所以直線和平面所成角的大小為.