Question

【題目】已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）若是上的單調(diào)函數(shù)，求的值；

（2）當(dāng)時，求證：若，且，則.

Answer 1

【答案】（1），（2）證明見解析

【解析】

（1）對求導(dǎo)，可得，令則恒成立，由于，所以，即可求出結(jié)果.

（2）方法一：利用消元求導(dǎo)，由題意可得，

令，，不妨設(shè)，，

令，

原題即證明當(dāng)時，，利用導(dǎo)數(shù)在不等式中應(yīng)用，即可求出結(jié)果.

方法二：利用切線放縮法，化解過程同方法一，原題即證明當(dāng)時，，，注意到，求出在處的切線方程為.下面證明恒成立（）；令，然后再利用導(dǎo)數(shù)在不等式中應(yīng)用，和不等式放縮即可證明結(jié)果.

（1），，由題意恒成立，由于，所以，解得.

方法一：消元求導(dǎo)死算

（2），

令，，不妨設(shè)，，

令，

原題即證明當(dāng)時，，

，其中

，因為，所以當(dāng)時，，得證.

方法二：切線放縮

化解過程同上，原題即證明當(dāng)時，，，注意到，求出在處的切線方程，則，即，則：切線方程為.下面證明恒成立（）；令，則，得在恒成立，故在（）上單調(diào)遞增，恒成立，故恒成立，同理可證始終位于在處的切線的上方，即：（實(shí)際上與關(guān)于軸對稱），故恒成立，原不等式得證.