Question

【題目】對數列，規(guī)定為數列的一階差分數列，其中，規(guī)定為的二階差分數列，其中.

（1）數列的通項公式，試判斷，是否為等差數列，請說明理由？

（2）數列是公比為的正項等比數列，且，對于任意的，都存在，使得，求所有可能的取值構成的集合；

（3）各項均為正數的數列的前項和為，且，對滿足，的任意正整數、、，都有，且不等式恒成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1），是等差數列，見解析（2）；（3）2

【解析】

（1）根據題干中的定義，結合等差數列的定義即可判斷.

（2）根據等比數列的通項公式可得，結合題干可得，從而可得，且；分類討論、或即可求出.

（3）根據題中對數列的定義可得，從而可得，即是等差數列，根據數列為正項等差數列可得，代入等差數列前項和公式，由，可得，當時，不等式都成立；當時，令，，代入等差數列的前項和公式，作差，由，，即可求解.

解：（1）因為，所以，

則，又，所以是首項為3，公差為2的等差數列.

因為，則是首項為2，公差為0的等差數列.

（2）因為數列是公比為的正項等比數列，所以.

又，

且對任意的，都存在，使得，

所以對任意的，都存在，使得，

即，因為，所以.

若，則，解得（舍）或，

即當時，對任意的，都有.

若，則，解得（舍）或，

即當時，對任意的，都有.

若，則，

故對任意的，不存在，使得.

綜上所述，所有可能的取值構成的集合為；

（3）因為，所以，

則，所以是等差數列.

設的公差為，則.

若，則；

若，則當時，，

與數列的各項均為正數矛盾，故.

由等差數列前項和公式可得，

所以，

，

又，，

所以，

則當時，不等式都成立.

另一方面，當時，令，，

則，

，

則

，

因為，，

所以當時，，即.不滿足任意性.

所以 .

綜上，的最大值為2.