【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣ |﹣|2x+1|. (Ⅰ)求f(x)的值域;
(Ⅱ)若f(x)的最大值時(shí)a,已知x,y,z均為正實(shí)數(shù),且x+y+z=a,求證: + + ≥1.
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=|x﹣ |﹣|2x+1|= , 函數(shù)的圖象如圖所示,則函數(shù)的值域?yàn)椋ī仭蓿?];
(Ⅱ)證明:由題意x,y,z均為正實(shí)數(shù),x+y+z=1,
由柯西不等式可得(x+y+z)( + + )≥(y+z+z)2=1,
∴ + + ≥1.
【解析】(Ⅰ)作出函數(shù)的圖象,即可求f(x)的值域;(Ⅱ)利用柯西不等式,即可證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】利用不等式的證明對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若g(x)=f(x+1)+5,g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù),對(duì)x∈R,總有g(shù)′(x)>2x,則g(x)<x2+4的解集為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ln(﹣x)+3x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,﹣3)處的切線方程是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(m+2cos2x)cos(2x+θ)為奇函數(shù),且f( )=0,其中m∈R,θ∈(0,π)
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且f( + )=﹣ ,c=1,ab=2 ,求△ABC的周長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái),手機(jī)已經(jīng)成為人們?nèi)粘I钪胁豢扇鄙俚漠a(chǎn)品,手機(jī)的功能也日趨完善,已延伸到了各個(gè)領(lǐng)域,如拍照,聊天,閱讀,繳費(fèi),購(gòu)物,理財(cái),娛樂(lè),辦公等等,手機(jī)的價(jià)格差距也很大,為分析人們購(gòu)買手機(jī)的消費(fèi)情況,現(xiàn)對(duì)某小區(qū)隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行手機(jī)價(jià)格的調(diào)查,統(tǒng)計(jì)如下:
年齡 價(jià)格 | 5000元及以上 | 3000元﹣4999元 | 1000元﹣2999元 | 1000元以下 |
45歲及以下 | 12 | 28 | 66 | 4 |
45歲以上 | 3 | 17 | 46 | 24 |
(Ⅰ)完成關(guān)于人們使用手機(jī)的價(jià)格和年齡的2×2列聯(lián)表,再判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下,認(rèn)為人們使用手機(jī)的價(jià)格和年齡有關(guān)?
(Ⅱ)從樣本中手機(jī)價(jià)格在5000元及以上的人群中選擇3人調(diào)查其收入狀況,設(shè)3人中年齡在45歲及以下的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附K2=
P(K2≥k) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,g(x)=x2eax(a<0). (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對(duì)任意x1 , x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取8次,記錄如下: 甲:8281797895889384
乙:9295807583809085
(Ⅰ)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(Ⅱ)現(xiàn)要從中選派一人參加正式比賽,從所抽取的兩組數(shù)據(jù)分析,你認(rèn)為選派哪位同學(xué)參加較為合適?并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)若對(duì)甲同學(xué)在今后的3次測(cè)試成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè),記這3次成績(jī)中高于80分的次數(shù)為ξ(將甲8次成績(jī)中高于80分的頻率視為概率),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知g(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),g(x)=﹣ln(1﹣x),函數(shù)f(x)= ,若f(2﹣x2)>f(x),則x的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)
B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)
C.(﹣2,1)
D.(1,2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)f(x)= ,有下列5個(gè)結(jié)論:
①任取x1 , x2∈[0,+∞),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2;
②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[4,5]上單調(diào)遞增;
③f(x)=2kf(x+2k)(k∈N+),對(duì)一切x∈[0,+∞)恒成立;
④函數(shù)y=f(x)﹣ln(x﹣1)有3個(gè)零點(diǎn);
⑤若關(guān)于x的方程f(x)=m(m<0)有且只有兩個(gè)不同實(shí)根x1 , x2 , 則x1+x2=3.
則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 . (請(qǐng)寫(xiě)出全部正確結(jié)論的序號(hào))
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