Question

【題目】已知函數(shù) ，g（x）=x2eax（a＜0）． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為R， ． 當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣1）	（﹣1，1）	（1，+∞）
f'（x）	﹣	+	﹣
f（x）	↘	↗	↘

所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣1，1），
單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．
（Ⅱ）依題意，“對于任意x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”
等價于“對于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”．
由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，
因為f（0）=1， ，所以函數(shù)f（x）的最小值為f（0）=1．
所以應(yīng)滿足g（x）max≤1．
因為g（x）=x2eax ， 所以g'（x）=（ax2+2x）eax ．
因為a＜0，令g'（x）=0得，x1=0， ．
（�。┊�(dāng) ，即﹣1≤a＜0時，
在[0，2]上g'（x）≥0，所以函數(shù)g（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
所以函數(shù) ．
由4e2a≤1得，a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．
（ⅱ）當(dāng) ，即a＜﹣1時，
在 上g'（x）≥0，在 上g'（x）＜0，
所以函數(shù)g（x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
所以 ．
由 得， ，所以a＜﹣1．
綜上所述，a的取值范圍是（﹣∞，﹣ln2]
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）問題等價于“對于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．