Question

【題目】設(shè)有二元關(guān)系，已知曲線.

（1）若時(shí)，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在曲線上，求正方形的面積；

（2）設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)是，拋物線與軸的交點(diǎn)是，直線與曲線交于，直線與曲線交于，求證直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)是，，可知?jiǎng)狱c(diǎn)在某確定的曲線上運(yùn)動(dòng)，曲線上與上述曲線在時(shí)共有4個(gè)交點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是、、、，集合的所有非空子集設(shè)為，將中的所有元素相加（若只有一個(gè)元素，則和是其自身）得到255個(gè)數(shù)，求所有正整數(shù)的值，使得是一個(gè)與變數(shù)及變數(shù)均無(wú)關(guān)的常數(shù).

Answer 1

【答案】（1）4；（2）直線過(guò)定點(diǎn)；（3）是奇數(shù)時(shí)，是一個(gè)與變數(shù)及變數(shù)均無(wú)關(guān)的常數(shù).

【解析】

（1）令，解得，即表示兩條平行直線，這兩條平行線間的距離2為正方形的邊長(zhǎng)，由此可得正方形面積；

（2）曲線中，令，則，設(shè)，由韋達(dá)定理得，寫出的方程求得的坐標(biāo)，從而得直線的方程（只含有參數(shù)），觀察方程可得直線所過(guò)定點(diǎn)；

（3）令，則，則，即點(diǎn)在曲線上，而曲線表示兩條平行線且斜率為1，因此可知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，從而可得，同理．于是有，有，則時(shí)，，對(duì)其他244個(gè)子集配對(duì)：，滿足，，這樣的集合“對(duì)”共有127對(duì)。

以下證明：對(duì)的元素和和的元素和，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒有，為此可用數(shù)學(xué)歸納法證明能夠整除，從而得結(jié)論．

（1）令，得，即表示兩條平行直線，這兩條平行線間的距離為，此為正方形的邊長(zhǎng)，正方形的面積為4。

（2）在曲線中，令，則，設(shè)，由韋達(dá)定理得，由題意知，直線方程為，方程為，

由，解得，同理可得，∵，∴，∴直線方程為，化簡(jiǎn)為：，時(shí)，，故直線過(guò)定點(diǎn)；

（3）令，則，則，即點(diǎn)在曲線上，又曲線：恒表示兩條平行直線，如圖，

關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，同理，則，集合的所有非空子集設(shè)為，取，顯然，則時(shí)，，對(duì)的其他子集，我們把它們配成集合“對(duì)”，使得，，這樣的集合“對(duì)”共有127對(duì)。

以下證明：對(duì)的元素和和的元素和，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒有，為此先證明：是奇數(shù)時(shí)，則能夠整除，

用數(shù)學(xué)歸納法證之：

(i)當(dāng)時(shí)顯然成立，

(ii)假設(shè)（是奇數(shù)）成立，即能夠整除，則當(dāng)時(shí)，，

由歸納假設(shè)知此式能被整除，

由(i)(ii)可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，能夠整除．

∴為奇數(shù)時(shí)，（其中是關(guān)于的整式），

∵，，∴對(duì)每一個(gè)集合“對(duì)”，，

則一定有＝0，，于是是常數(shù)．