Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）≤0恒成立，求ea（b﹣1）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）討論見解析；（2）最大值為0

【解析】

（1）分時，時，兩種情況討論單調性．
（2）由（1）知：當時，取且時，，與題意不合，當時，由題目中恒成立可得，,得，所以，令，只需求即可.

（1）①當a＞0時，則f（x）的定義域為（﹣，+∞），

＝，由f′（x）＝0，

得x＝1﹣＞﹣，

所以f（x）在（﹣，1﹣）單調遞增，在（1﹣，+∞）單調遞減，

②當a＜0時，則f（x）的定義域為（﹣∞，﹣），

由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，

所以f（x）在（﹣∞，﹣）單調遞減．

綜上：當a＞0時，f（x）在（﹣，1﹣）單調遞增，在（1﹣，+∞）單調遞減.

當a＜0時, f（x）在（﹣∞，﹣）單調遞減．

（2）由（1）知：當a＜0時，取x0＜且x0＜0時，

f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，與題意不合，

當a＞0時，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤ a﹣alna﹣1，

所以ea（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）ea，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）ex，

則h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）ex，

令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，則u′（x）＝﹣lnx﹣，

則u″（x）＝，

u′（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．

則u′（x）max＝u′（1）＜0，

從而u（x）在（0，+∞）單調遞減，又因為u（1）＝0．

所以當x∈（0，1）時，u（x）＞0，即h′（x）＞0；

當x∈（1，+∞）時，u（x）＜0，即h′（x）＜0，

則h（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，

所以h（x）max＝h（1）＝0．

所以ea（b﹣1）的最大值為0.