【題目】如圖,某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域以O(shè) 為圓心,AB為直徑,現(xiàn)計劃對其進行改建.在AB的延長線上取點D,OD=80 m,在半圓上選定一點C,改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成,其面積為S m2.設(shè)∠AOCx rad.

1寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式Sx,并指出x的取值范圍;

2試問∠AOC多大時,改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值.

【答案】1 Sx=1600sinx+800x,0<x<π.2

【解析】

試題分析:1 根據(jù)扇形面積公式得S扇形AOC==800x ,根據(jù)三角形面積公式得S△COD=·OC·OD·sin∠COD=1600sinπ-x=1600sinx,從而Sx=S△COD+S扇形AOC=1600sinx+800x,定義域為

0<x<π2利用導數(shù)求函數(shù)最值:先求導數(shù)S′x=1600cosx+800=1600cosx+,再求導函數(shù)零點x=,最后列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律,確定函數(shù)單調(diào)性變化規(guī)律,進而得極大值,也是最大值

試題解析:1因為扇形 AOC的半徑為 40 m,∠AOC=x rad,

所以 扇形AOC的面積S扇形AOC==800x,0<x<π.

在△COD中,OD=80,OC=40,∠COD=π-x,

所以△COD 的面積S△COD=·OC·OD·sin∠COD=1600sinπ-x=1600sinx.

從而 S=S△COD+S扇形AOC=1600sinx+800x,0<x<π.

21知, Sx=1600sinx+800x,0<x<π.

S′x=1600cosx+800=1600cosx+

S′x=0,解得x=

從而當0<x<時,S′x>0;當<x<π時, S′x<0

因此 Sx在區(qū)間0,上單調(diào)遞增;在區(qū)間,π上單調(diào)遞減.

所以 當x=,Sx取得最大值.

答:當∠AOC為時,改建后的綠化區(qū)域面積S最大.

練習冊系列答案
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若商店一天購進該商品10件,求當天的利潤y單位:元關(guān)于當天需求量n單位:件,n∈N的函數(shù)解析式;

商店記錄了50天該商品的日需求量單位:件,整理得下表:

日需求量n

8

9

10

11

12

頻數(shù)

10

10

15

10

5

假設(shè)該店在這50天內(nèi)每天購進10件該商品,求這50天的日利潤單位:元的平均數(shù);

若該店一天購進10件該商品,記“當天的利潤在區(qū)間”為事件A,求PA的估計值.

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6

7

6

7

8

5

6

7

8

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(2)從班和班抽出來的學生中各選一名,記班選出的學生為甲,班選出的學生為乙,求甲的鍛煉時間大于乙的鍛煉時間的概率.

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(2)若分別是橢圓長軸的左、右端點,動點滿足,連結(jié),交橢圓于點,證明:為定值;

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