【題目】如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,,.
(1)求證:平面BCD;
(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;
(3)求點E到平面ACD的距離。
【答案】(1)見解析(2)(3)
【解析】
(1)連接OC,由BO=DO,AB=AD,知AO⊥BD,由BO=DO,BC=CD,知CO⊥BD.在△AOC中,由題設(shè)知,AC=2,故AO2+CO2=AC2,由此能夠證明AO⊥平面BCD;
(2)取AC的中點M,連接OM、ME、OE,由E為BC的中點,知ME∥AB,OE∥DC,故直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.在△OME中,,由此能求出異面直線AB與CD所成角大小的余弦;
(3)設(shè)點E到平面ACD的距離為h.在△ACD中,,故,由AO=1,知,由此能求出點E到平面ACD的距離.
(1)證明:連接OC,∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD,
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.
在△AOC中,由題設(shè)知,AC=2,
∴AO2+CO2=AC2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
∵AO⊥BD,BD∩OC=O,
∴AO⊥平面BCD.
(2)解:取AC的中點M,連接OM、ME、OE,由E為BC的中點,
知ME∥AB,OE∥DC,
∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.
在△OME中,,
∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線,∴,
∴,
∴異面直線AB與CD所成角大小的余弦為
(3)解:設(shè)點E到平面ACD的距離為h.
,
,
在△ACD中,,
∴,
∵AO=1,,
∴,
∴點E到平面ACD的距離為.
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【題目】如圖,正方體的棱長為1,過點作平面的垂線,垂足為點,有下面三個結(jié)論:①點是的中心;②垂直于平面;③直線與直線所成的角是90°.其中正確結(jié)論的序號是_______.
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【題目】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
性別 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
附:的觀測值
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(1)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;
(2)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下是否可認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?
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【題目】用0、1、2、3、4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù),其中恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個數(shù)是( )
A.48 B.36 C.28 D.12
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【題目】某高速公路服務(wù)區(qū)臨時停車場按時段收費,收費標準:每輛汽車一次停車不超過1小時收費5元,超過1小時的部分每小時收費7元(不足1小時的部分按1小時計算).現(xiàn)有甲、乙兩人在該服務(wù)區(qū)臨時停車,兩人停車都不超過4小時.
(1)若甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為,停車付費多于12元的概率為,求甲停車付費恰為5元的概率;
(2)若每人停車的時長在每個時段的可能性相同,求甲、乙兩人停車付費之和為38元的概率.
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【題目】設(shè)表示不小于實數(shù)的最小整數(shù),執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果是( )
A. 14 B. 15
C. 16 D. 17
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【題目】一個盒子中裝有1個黑球和2個白球,這3個球除顏色外完全相同.有放回地連續(xù)抽取2次,每次從中任意地取出1個球.計算下列事件的概率:
(1)取出的兩個球都是白球;
(2)第一次取出白球,第二取出黑球;
(3)取出的兩個球中至少有一個白球.
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【題目】學?萍夹〗M在計算機上模擬航天器變軌返回試驗.設(shè)計方案如圖:航天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為,變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞)后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分,降落點為.觀測點實時跟蹤航天器.
(1)求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程(只需求出曲線方程即可,不必求范圍);
(2)試問:當航天器在軸上方時,觀測點測得離航天器的距離為多少時,應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令?
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【題目】某高校調(diào)查喜歡“統(tǒng)計”課程是否與性別有關(guān),隨機抽取了55個學生,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:
喜歡 | 不喜歡 | 總計 | |
男生 | 20 | ||
女生 | 20 | ||
總計 | 30 | 55 |
(1)完成表格的數(shù)據(jù);
(2)判斷是否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜歡“統(tǒng)計”課程與性別有關(guān)?
參考公式:
0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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