已知不等式|1-kxy|>|kx-y|.
(1)當(dāng)k=1,y=2時(shí),解關(guān)于x的不等式|1-kxy|>|kx-y|;
(2)若不等式|1-kxy|>|kx-y|對(duì)任意滿足|x|<1,|y|<1的實(shí)數(shù)x,y恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)當(dāng)k=1,y=2時(shí),由不等式可得|1-2x|>|x-2|,即 1-4x+4x2>x2-4x+4,等價(jià)于 x2>1.
(2)已知不等式等價(jià)于  (k2x2-1)(y2-1)>0對(duì)任意滿足|x|<1,|y|<1的實(shí)數(shù)x,y 恒成立,而y2<1,轉(zhuǎn)化為k2x2-1<0對(duì)任意滿足|x|<1的實(shí)數(shù)x恒成立,由
1
x2
∈(1,+∞),可得 k2≤1.
解答:解:(1)當(dāng)k=1,y=2時(shí),不等式|1-kxy|>|kx-y|,即為|1-2x|>|x-2|.
所以,1-4x+4x2>x2-4x+4  等價(jià)于 x2>1,所以,x∈(-∞,-1)∩(1,+∞).
(2)由已知得|1-kxy|>|kx-y|等價(jià)于|1-kxy|2>|kx-y|2 等價(jià)于  1+k2x2y2>k2x2+y2
即(k2x2-1)(y2-1)>0對(duì)任意滿足|x|<1,|y|<1的實(shí)數(shù)x,y 恒成立.
而y2<1,所以y2-1<0,故(k2x2-1)(y2-1)>0,等價(jià)于 k2x2-1<0.
于是命題轉(zhuǎn)化為k2x2-1<0對(duì)任意滿足|x|<1的實(shí)數(shù)x恒成立.
當(dāng)x=0時(shí),易得k∈R;
當(dāng)x≠0時(shí),有k2
1
x2
對(duì)任意滿足|x|<1,x≠0的實(shí)數(shù)x恒成立.
由0<|x|<1 等價(jià)于 0<x2<1,∴
1
x2
∈(1,+∞),所以,k2≤1.
綜合以上得k∈[-1,1]即為所求的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題考查查絕對(duì)值不等式的解法,不等式的基本性質(zhì),體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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