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已知不等式|1-kxy|>|kx-y|.
(1)當k=1,y=2時,解關于x的不等式|1-kxy|>|kx-y|;
(2)若不等式|1-kxy|>|kx-y|對任意滿足|x|<1,|y|<1的實數x,y恒成立,求實數k的取值范圍.

解:(1)當k=1,y=2時,不等式|1-kxy|>|kx-y|,即為|1-2x|>|x-2|.
所以,1-4x+4x2>x2-4x+4 等價于 x2>1,所以,x∈(-∞,-1)∩(1,+∞).
(2)由已知得|1-kxy|>|kx-y|等價于|1-kxy|2>|kx-y|2 等價于 1+k2x2y2>k2x2+y2,
即(k2x2-1)(y2-1)>0對任意滿足|x|<1,|y|<1的實數x,y 恒成立.
而y2<1,所以y2-1<0,故(k2x2-1)(y2-1)>0,等價于 k2x2-1<0.
于是命題轉化為k2x2-1<0對任意滿足|x|<1的實數x恒成立.
當x=0時,易得k∈R;
當x≠0時,有k2對任意滿足|x|<1,x≠0的實數x恒成立.
由0<|x|<1 等價于 0<x2<1,∴∈(1,+∞),所以,k2≤1.
綜合以上得k∈[-1,1]即為所求的取值范圍.
分析:(1)當k=1,y=2時,由不等式可得|1-2x|>|x-2|,即 1-4x+4x2>x2-4x+4,等價于 x2>1.
(2)已知不等式等價于 (k2x2-1)(y2-1)>0對任意滿足|x|<1,|y|<1的實數x,y 恒成立,而y2<1,轉化為k2x2-1<0對任意滿足|x|<1的實數x恒成立,由 ∈(1,+∞),可得 k2≤1.
點評:本題考查查絕對值不等式的解法,不等式的基本性質,體現了轉化的數學思想.
練習冊系列答案
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