【題目】若正項(xiàng)數(shù)列{}滿足:,則稱此數(shù)列為“比差等數(shù)列”.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)“比差等數(shù)列”的前3項(xiàng)的值;
(2)設(shè)數(shù)列{}是一個(gè)“比差等數(shù)列”
(i)求證:;
(ii)記數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)于任意,都有.
【答案】(1)2,4, ;(2)(i)見(jiàn)解析(ii)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(1)由題意可得,由迭代法,例如代入,可依次得到。(2)由,可知又,所以即,由均值不等式。由>0,可知數(shù)列{}單調(diào)遞增。所以>1,
由a2≥4得,a3﹣a2≥1,a4﹣a3≥1,…,an﹣an﹣1≥1,
以上 n﹣1個(gè)不等式相加得,an≥(n﹣2)+4=n+2(n≥2),所以
當(dāng)n≥2時(shí),Sn=a1+a2+a3+…+an
≥1+4+(3+2)+…+(n+2)≥(1+2)+(2+2)+…+(n+2)﹣2
=﹣2=檢驗(yàn)n=1也符合,即證。
試題解析:(1)解:一個(gè)“比差等數(shù)列”的前3項(xiàng)可以是:2,4,;
(2)(i)證明:當(dāng)n=1時(shí),,
∴===,
∵an>0,∴,則a1﹣1>0,即a1>1,
∴≥2+2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
則a2≥4成立;
(ii)由an>0得,an+1﹣an=≥0,
∴an+1≥an>0,則an+1﹣an=,
由a2≥4得,a3﹣a2≥1,a4﹣a3≥1,…,an﹣an﹣1≥1,
以上 n﹣1個(gè)不等式相加得,an≥(n﹣2)+4=n+2(n≥2),
當(dāng)n≥2時(shí),Sn=a1+a2+a3+…+an
≥1+4+(3+2)+…+(n+2)≥(1+2)+(2+2)+…+(n+2)﹣2
=﹣2=,
當(dāng)n=1時(shí),由(i)知S1=a1>1≥,
綜上可得,對(duì)于任意n∈N*,都有Sn>.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 平面, , 平分, 為的中點(diǎn), , .
(1)證明: 平面.
(2)證明: 平面.
(3)求直線與平面所成的角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求證: ;
(2)當(dāng)且時(shí),求函數(shù)的最小值;
(3)若,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列是關(guān)于函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]的幾個(gè)命題:
①若x0∈[a,b]且滿足f(x0)=0,則(x0,0)是f(x)的一個(gè)零點(diǎn);
②若x0是f(x)在[a,b]上的零點(diǎn),則可用二分法求x0的近似值;
③函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
④用二分法求方程的根時(shí),得到的都是近似值.
那么以上敘述中,正確的個(gè)數(shù)為 ( )
A. 0 B. 1 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】否定“自然數(shù)、、中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為( )
A. 、、都是奇數(shù) B. 、、至少有兩個(gè)偶數(shù)
C. 、、都是偶數(shù) D. 、、中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】沭陽(yáng)縣某水果店銷(xiāo)售某種水果,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,該水果每日的銷(xiāo)售量(單位:千克)與銷(xiāo)售價(jià)格近似滿足關(guān)系式,其中為常數(shù),已知銷(xiāo)售價(jià)格定為元千克時(shí),每日可銷(xiāo)售出該水果千克.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若該水果的成本價(jià)格為元千克,要使得該水果店每日銷(xiāo)售該水果獲得最大利潤(rùn),請(qǐng)你確定銷(xiāo)售價(jià)格的值,并求出最大利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,假設(shè)某10張券中有一等獎(jiǎng)1張,可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品;有二等獎(jiǎng)券3張,每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品;其余6張沒(méi)有將;某顧客從此10張券中任取2張,求:
(1)該顧客中獎(jiǎng)的概率;
(2)該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值(元)的概率分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司試銷(xiāo)一種成本單價(jià)為500元/件的新產(chǎn)品,規(guī)定試銷(xiāo)時(shí)銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià),又不高于800元/件.經(jīng)試銷(xiāo)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)售量(件)與銷(xiāo)售單價(jià)(元/件)可近似看作一次函數(shù)的關(guān)系(如圖所示).
(1)根據(jù)圖象,求一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(rùn)(毛利潤(rùn)=銷(xiāo)售總價(jià)—成本總價(jià))為元. 試用銷(xiāo)售單價(jià)表示毛利潤(rùn)并求銷(xiāo)售單價(jià)定為多少時(shí),該公司獲得最大毛利潤(rùn)?最大毛利潤(rùn)是多少?此時(shí)的銷(xiāo)售量是多少?
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