(12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn),平面ABC

（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的余弦值；

（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.

 

【答案】

（1）見(jiàn)解析（2）二面角的余弦值為．（3）．

【解析】

試題分析：(1)證明線(xiàn)面垂直，根據(jù)其判定定理，只須證明AB1垂直這個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)即可，本小題顯然應(yīng)證：.

(2)利用空間向量法求二面角，先求出二面角兩個(gè)面的法向量，然后再利用求解即可.

(3)利用空間向量法點(diǎn)C到平面的距離根據(jù)來(lái)解即可.

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)．  為正三角形，．

在正三棱柱中，   平面平面，平面．

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011315022774584526/SYS201301131503149333737729_DA.files/image023.png">軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，，．

，，

，．  平面．

（2）設(shè)平面的法向量為．

，．，，

令得

由（1）知平面，為平面的法向量．

    二面角的余弦值為．

（3）由（2），為平面法向量，   ．

    點(diǎn)到平面的距離．

考點(diǎn)：空間向量法證明線(xiàn)面垂直，求二面角，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，線(xiàn)面垂直的判定定理.

點(diǎn)評(píng)：掌握線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行與垂直判斷與性質(zhì)是解決此類(lèi)問(wèn)題的前提.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（本題滿(mǎn)分12分）如圖,在三棱柱中,側(cè)面底面,,,且為中點(diǎn).

(I)證明:平面;

(II)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值;

(III)在上是否存在一點(diǎn),使得平面,若不存在,說(shuō)明理由;若存在,確定點(diǎn)的位置.

 

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（（本小題12分）

如圖, 在三棱柱中, 底面，, ,, 點(diǎn)D是的中點(diǎn).

(1) 求證;

(2) 求證平面

 

 

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（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是，D是AC的中點(diǎn)．

   （Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；                                      

   （Ⅱ）求二面角A1－BD－A的大�。�

   （Ⅲ）求直線(xiàn)AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．

 

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（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，D為AC的中點(diǎn)。

   （1）求證：AB1//面BDC1；

   （2）若AA1=3，求二面角C1—BD—C的余弦值；

   （3）若在線(xiàn)段AB1上存在點(diǎn)P，使得CP面BDC1，試求AA1的長(zhǎng)及點(diǎn)P的位置。

    

 

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（本小題12分）

如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

（1）求證：AC⊥B1C；

（2）求證：AC 1∥平面CDB1.

 

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