【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形的長(zhǎng)為2,寬為1, , 邊分別在軸、軸的正半軸上, 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,將矩形折疊,使點(diǎn)落在線段上,設(shè)此點(diǎn)為.
(1)若折痕的斜率為-1,求折痕所在的直線的方程;
(2)若折痕所在直線的斜率為,( 為常數(shù)),試用表示點(diǎn)的坐標(biāo),并求折痕所在的直線的方程;
(3)當(dāng)時(shí),求折痕長(zhǎng)的最大值.
【答案】(1);(2);(3) .
【解析】試題分析:(1)若折痕的斜率為時(shí),由于點(diǎn)落在線段上,可得折痕必過(guò)點(diǎn),即可得出;(2)當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合,折痕所在的直線方程,當(dāng)時(shí),將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)記為,可知與關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱(chēng),有,故點(diǎn)坐標(biāo)為,從而折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)即線段的中點(diǎn)為,即可得出;(3)當(dāng)時(shí),折痕為2,當(dāng)時(shí),折痕所在直線交于點(diǎn),交軸于,利用兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
試題解析:(1)∵折痕的斜率為時(shí), 點(diǎn)落在線段上
∴折痕必過(guò)點(diǎn)
∴直線方程為
(2)①當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合,折痕所在的直線方程.
②當(dāng)時(shí),將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)記為,
則與關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱(chēng),有,即.
∴點(diǎn)坐標(biāo)為
從而折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)即線段的中點(diǎn)為,折痕所在的直線方程,即.
綜上所述,由①②得折痕所在的直線方程為: .
(3)當(dāng)時(shí),折痕長(zhǎng)為2.
當(dāng)時(shí),折痕所在直線交于點(diǎn),交軸于.
∵,
∴折痕長(zhǎng)的最大值為.
∴綜上所述,折痕長(zhǎng)度的最大值為
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(2)若對(duì)任意的t∈[0,5],不等式f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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(1)寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于旅游團(tuán)人數(shù)的函數(shù);
(2)旅游團(tuán)人數(shù)為多少時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn)?
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(Ⅰ)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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