Question

【題目】直三棱柱中，，分別是 的中點(diǎn)，，為棱上的點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）略 （2）為的中點(diǎn)

【解析】試題分析：對(duì)于問題（1）可以先證明兩兩垂直，然后再建立空間直角坐標(biāo)系用向量法進(jìn)行證明；對(duì)于問題（2）可在（1）中建立的坐標(biāo)系下，分別求出平面與平面的法向量，再根據(jù)二面角的余弦公式，即可確定是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

試題解析：（1）證明：因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，所以面，

又因?yàn)?/span>面，

所以，

以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有

設(shè)且，即，則

，所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以

（2）結(jié)論：存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為

理由如下：

由題可知面的法向量

設(shè)面的法向量為，則

因?yàn)?/span>，

所以，即，

令，則

因?yàn)槠矫?/span>與平面所成銳二面角的余弦值為，

所以，即，

解得或（舍），所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)滿足要求