Question

已知向量a＝(x²，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函數(shù)f(x)＝a·b在區(qū)間(－1，1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：依定義f(x)=x2(1－x)＋t(x＋1)=－x3＋x2＋tx＋t，則(x)=－3x2＋2x＋t． 　　由函數(shù)f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)，則在(－1，1)上有．(x)≥0． 　　由(x)≥0得t≥3x2－2x在區(qū)間(－1，1)上恒成立，考慮函數(shù)g(x)=3x2－2x． 　　由于g(x)的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x=． 　　故要使t≥3x2－2x在區(qū)間(－1，1)上恒成立，則須t≥g(－1)，即t≥5． 　　而當t≥5時，(x)在(－1，1)上滿足(x)＞0，即f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)． 　　故t的取值范圍是t≥5． 　　分析：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及運用基本函數(shù)的性質分析和解決問題的能力． 　　點評：利用向量的數(shù)量積可以把問題轉化為代數(shù)表達形式，從而運用代數(shù)方法——高次求導法、二次判別式法、配方法、均值不等式法求解．