Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明： ；

（2）若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) 或.

【解析】試題分析：

(1)當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，則當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增.故 ，據(jù)此可得.

(2)構(gòu)造函數(shù)，令 ，則，分類(lèi)討論：

①當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，

②當(dāng)時(shí)， 或，

當(dāng)時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上可知，當(dāng)方程有且只有一個(gè)實(shí)根時(shí)， 的取值范圍是或.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，令，

，

故當(dāng)時(shí)， ，所以單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ，所以單調(diào)遞增.

故 ，

所以，所以.

（2）令 ，

，

①當(dāng)時(shí)， ， 與在區(qū)間上的情況如下：

，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，

②當(dāng)時(shí)， 或，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

與在區(qū)間上的情況如下：

所以極小值為，極大值為，

由的圖象可知有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)即時(shí)，

與在區(qū)間上的情況如下：

所以函數(shù)的極小值為，極大值為，

由的圖象可知有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)，即時(shí)，

為單調(diào)遞減函數(shù)，由的圖象知有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上可知，當(dāng)方程有且只有一個(gè)實(shí)根時(shí)， 的取值范圍是或.