【題目】已知函數(shù)在處的切線斜率為.
(1)求實(shí)數(shù)的值,并討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,證明:.
【答案】(1)見解析;(2)見證明
【解析】
(1)先對函數(shù)求導(dǎo),由函數(shù)在處的切線斜率為即可求出的值,進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性;
(2)要證,即證,構(gòu)造函數(shù),,用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的最小值和函數(shù)的最大值,即可得出結(jié)論.
(1)
由切線斜率,解得.
,其定義域?yàn)?/span>,
令,解得,故在區(qū)間上單調(diào)遞增;
令,解得,且,故在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞減;
(2)由(1)知,定義域?yàn)?/span>.
從而等價(jià)于,
設(shè),則,.
當(dāng)時,,當(dāng)時,.
故在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
從而在的最小值為.
設(shè),則,
當(dāng)時,,當(dāng)時,
故在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
從而在的最大值為,
綜上所述,在區(qū)間上恒有成立,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三角形PCD所在的平面與等腰梯形ABCD所在的平面垂直,AB=AD=CD,AB∥CD,CP⊥CD,M為PD的中點(diǎn).
(1)求證:AM∥平面PBC;
(2)求證:BD⊥平面PBC.
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【題目】已知橢圓 經(jīng)過點(diǎn),一個焦點(diǎn)是.
(1)求橢圓的方程;
(2)若傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且,求直線的方程.
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【題目】極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系有相同的長度單位,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,射線,,,與曲線分別交異于極點(diǎn)的四點(diǎn),,,.
()若曲線關(guān)于曲線對稱,求的值,并把曲線和化成直角坐標(biāo)方程.
()求,當(dāng)時,求的值域.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)設(shè)時,存在,使方程成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
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【題目】2019年11月2日,中國藥品監(jiān)督管理局批準(zhǔn)了治療阿爾茨海默。ɡ夏臧V呆癥)新藥GV-971的上市申請,這款新藥由我國科研人員研發(fā),我國擁有完全知識產(chǎn)權(quán).據(jù)悉,該款藥品為膠囊,從外觀上看是兩個半球和一個圓柱組成,其中上半球是膠囊的蓋子,粉狀藥物儲存在圓柱及下半球中.膠囊軸截面如圖所示,兩頭是半圓形,中間區(qū)域是矩形,其周長為50毫米,藥物所占的體積為圓柱體積和一個半球體積之和.假設(shè)的長為毫米.(注:,,其中為球半徑,為圓柱底面積,為圓柱的高)
(1)求膠囊中藥物的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如何設(shè)計(jì)與的長度,使得最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),
(1)當(dāng)時,求在上的最大值和最小值;
(2)當(dāng)時,過點(diǎn)作函數(shù)的圖象的切線,求切線方程.
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【題目】在四棱錐中,平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,,,且,,點(diǎn)E是線段PD的中點(diǎn).
Ⅰ求證:平面PAB;
Ⅱ求證:平面平面PCD;
Ⅲ當(dāng)直線PC與平面PAD所成的角大小為時,求線段PA的長.
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