Question

已知拋物線C的方程為y²=2x，焦點為F，
（1）若C的準(zhǔn)線與x軸的交點為D，過D的直線l與C交于A，B兩點，且|

.

FA

|=2|

.

FB

|，求直線l的斜率；
（2）設(shè)點P是C上的動點，點R，N在y軸上，圓M：（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|FA|=2|FB|，得x1-2x2=

1

2

，將直線與拋物線方程聯(lián)立可得x₁+x₂，x₁x₂ 的值，解出x₁，x₂，從而問題得解．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，則直線PR的方程可得，由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，把x₀，y₀代入化簡整理可得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，進(jìn)而可知b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據(jù)求根公式，可求得b-c，進(jìn)而可得△PRN的面積的表達(dá)式，根據(jù)均值不等式可知當(dāng)當(dāng)x₀=4時面積最小，進(jìn)而求得點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由拋物線C的方程為y²=2x，得其焦點F（

1

2

，0），
準(zhǔn)線方程為x=-

1

2

，所以D（-

1

2

，0），
由題意設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），則直線l的方程為y=kx+

k

2

．
聯(lián)立

y=kx+ k 2 y2=2x

，得4k²x²+（4k²-8）x+k²=0．
設(shè)直線l與C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2

k2

-1，x1x2=

1

4

①
由|

.

FA

|=2|

.

FB

|，得x1-2x2=

1

2

②
由①②解得x1=1，x2=

1

4

，k=±

2 2

3

．
代入△=（4k²-8）²-16k⁴中大于0成立，
所以k=±

2 2

3

；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，
即

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1．
注意到x₀＞2，化簡上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
由上可知，b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，
根據(jù)求根公式，可得b-c=

4x02+4y02-8x0

x0-2

=

2x0

x0-2

．
故△PRN的面積為S=

1

2

(b-c)x0=

x02

x0-2

=(x0-2)+

4

x0-2

+4≥2

(x0-2)• 4 x0-2

+4=8，
等號當(dāng)且僅當(dāng)x₀=4時成立．此時點P的坐標(biāo)為（4，2

2

）或（4，-2

2

）．
綜上所述，當(dāng)點P的坐標(biāo)為（4，2

2

）或（4，-2

2

）時，△PRN的面積取最小值8．

點評：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點，如直線被圓錐曲線截得的弦長，中點弦問題，垂直問題，對稱問題等，與圓錐曲線的性質(zhì)有關(guān)的量的范圍問題是常見題型，此題是有一定難度題目．