(2011•合肥三模)已知拋物線C的方程為x2=2py(p>0),過拋物線上點M(-2
p
,p)作△MAB,A、B兩均在拋物線上.過M作x軸的平行線,交拋物線于點N.
(I)若MN平分∠AMB,求證:直線AB的斜率為定值;
(II)若直線AB的斜率為
p
,且點N到直線MA,MB的距離的和為4p,試判斷△MAB的形狀,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)由M(-2
p
,p)
在x2=2py(p>0)上可求P,可設直線MA的斜率為k,則直線MB的斜率為-k,則直線MA的方程為y=kx+2
2
k+2
,聯(lián)立
y=kx+2
2
k+2
x2=4y
可得x2-4kx-8
2
k-8=0
,則xA=4k-xM=4k+2
2

同理可得,xB=2
2
-4k
KAB=
yA-yB
xA-xB
可求
(2)同(1)可知xA=4KMA+2
2
xB=4KMB+2
2
,KAB=
yA-yB
xA-xB
=
1
4
(xA+xB)
=KMA+KMB+
2
,由條件KAB=
2
知KMA=-KMB結(jié)合已知可得,KMA•kMB=-1,從而可判斷
解答:解:(1)∵M(-2
p
,p)
在x2=2py(p>0)上
∴4p=2p2,可得p=2
可設直線MA的斜率為k,則直線MB的斜率為-k
則直線MA的方程為y=kx+2
2
k+2

聯(lián)立
y=kx+2
2
k+2
x2=4y
可得x2-4kx-8
2
k-8=0

則xM+xA=4k即xA=4k-xM=4k+2
2

同理可得,xB=2
2
-4k

KAB=
yA-yB
xA-xB
=
1
4
(
x
2
A
-
x
2
B
)
xA-xB
=
1
4
(xA+xB)
=
2

(2)同(1)可知xA=4KMA+2
2
,xB=4KMB+2
2

KAB=
yA-yB
xA-xB
=
1
4
(xA+xB)
=KMA+KMB+
2
,
由條件KAB=
2
知KMA=-KMB即直線MA、MB關于MN對稱
則點N(2
2
,2)
到直線MA或MB的距離d=
4p
2
=4

由點到直線的距離公式可得kMA2=kMB2=1
∴KMA•kMB=-1∴∠AMB=
π
2

∴△MAB為Rt△
點評:本題考查拋物線性質(zhì)的應用,直線與拋物線的位置關系的應用,方程的根與系數(shù)的關系的應用,直線的斜率公式的應用,綜合的知識較多,計算量較大,這也是圓錐曲線的?嫉脑囶}.
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50
50
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a
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π
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20
20
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