Question

已知拋物線C的方程為y²=2px（p＞0且p為常數），過焦點F作直線與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①求證：4x₁x₂=p²
②若拋物線C的準線l與x軸交于N點且AB⊥AN，求|x₁-x₂|

Answer 1

分析：（1）結合要證明的結果可聯(lián)想到將A，B所在得直線方程與拋物線C的方程為y²=2px（p＞0且p為常數）聯(lián)立然后利用根與系數的關系即可得證，而根據題意F（

p

2

，0）故可利用點斜式寫出直線AB的方程但要分斜率存在與否進行討論．
（2）根據題意易得N(-

p

2

，0)再根據AB⊥AN可得k_AB•k_AN=-1再結合y₁²=2px₁以及第一問的結論4x₁x₂=p²，化簡即可得解．

解答：解：（1）設直線AB的方程為y=k(x-

p

2

)（k≠0）
（當 k=0時，顯然不合題意）
聯(lián)立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

⇒k2x2-(k2p+2p)x+

k2p2

4

=0
由韋達定理得：x1x2=

p2

4

，即4x₁x₂=p²
當AB的斜率k不存在時，AB的方程為x=

p

2

此時x1=x2=

p

2

，4x₁x₂=p²也成立．
（2）拋物線y²=2px的準線方程為x=-

p

2

，準線與x軸交點N(-

p

2

，0)，A（x₁，y₁）（顯然x₁≠0）kAN=

y1

x1+ p 2

，kAB=kAF=

y1

x1- p 2

∵AB⊥AN∴

y1

x1+ p 2

•

y1

x1- p 2

=-1得y12=

p2

4

-x12
但y₁²=2px₁由①知：

p2

4

=x1x2，故有2px₁=x₁x₂-x₁²
又x₁≠0∴2p=x₂-x₁即有：|x₂-x₁|=2p

點評：本題主要是對直線與圓錐曲線的綜合問題的考查．解題的關鍵是第一問要對直線的斜率存在與否進行討論而第二問要對AB⊥AN這一條件的常用運算技巧熟悉（即k_AB•k_AN=-1）在得出y12=

p2

4

-x12后結合要求的結果|x₁-x₂|故需利用點A在拋物線上以及第一問的結論再對上式代入化簡求值！