Question

10．設(shè)數(shù)列{a_n}使得a₁=0，且對(duì)任意的n∈N^*，均有|a_n+1-a_n|=n，則a₃所有可能的取值構(gòu)成的集合為{-3，-1，1，3}；a₆₄的最大值為2016．

Answer 1

分析 ①由于a₁=0，且對(duì)任意的n∈N^*，均有|a_n+1-a_n|=n，則n=1時(shí)，|a₂-0|=1，解得a₂=±1．利用|a₃-a₂|=2，即可得出a₃．
②對(duì)任意的n∈N^*，均有|a_n+1-a_n|=n，可得：a_n+1-a_n=±n，取a_n+1-a_n=n，a₁=0時(shí)，數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：①∵a₁=0，且對(duì)任意的n∈N^*，均有|a_n+1-a_n|=n，
∴n=1時(shí)，|a₂-0|=1，解得a₂=±1．
∴a₂=1，則|a₃-1|=2，解得a₃=3，-1．
∴a₂=-1，則|a₃+1|=2，解得a₃=-3，1．
∴a₃所有可能的取值構(gòu)成的集合為{-3，-1，1，3}．
②對(duì)任意的n∈N^*，均有|a_n+1-a_n|=n，可得：a_n+1-a_n=±n，
取a_n+1-a_n=n，a₁=0時(shí)，數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，
可得：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（n-1）+（n-2）+…+1+0
=$\frac{n（n-1）}{2}$，
則a₆₄的最大值=$\frac{64×63}{2}$=2016．
故答案為：{-3，-1，1，3}，2016．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．