Question

20．如圖，已知平行四邊形ABCD中，BC=6，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點．
（1）求證：GH∥平面CDE；
（2）若CD=2，DB=4，求四棱錐F-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）方法一：推導(dǎo)出四邊形EFBC是平行四邊形，從而HG∥CD，由此能證明GH∥平面CDE．
方法二：連接EA，推導(dǎo)出GH∥CD，由此能證明GH∥平面CDE．
（2）推導(dǎo)出FA⊥平面ABCD，BD⊥CD．由此能求出四棱錐F-ABCD的體積V_F-ABCD．

解答 證明：（1）方法一：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC．
又EF=AD=BC，∴四邊形EFBC是平行四邊形，…（3分）
∴H為FC的中點．又∵G是FD的中點，∴HG∥CD．
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，
∴GH∥平面CDE．…（6分）
方法二 連接EA，∵ADEF是正方形，
∴G是AE的中點．
∴在△EAB中，GH∥AB．…（3分）
又∵AB∥CD，∴GH∥CD．
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，
∴GH∥平面CDE．…（6分）
解：（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，
且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD．…（9分）
∵AD=BC=6，∴FA=AD=6．
又∵CD=2，DB=4，CD²+DB²=BC²，∴BD⊥CD．
∵S_?ABCD=CD•BD=8，
∴V_F-ABCD=$\frac{1}{3}$S_?ABCD•FA=$\frac{1}{3}×$8×6=16．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．