Question

【題目】為了整頓食品的安全衛(wèi)生，食品監(jiān)督部門對(duì)某食品廠生產(chǎn)的甲、乙兩種食品進(jìn)行了檢測(cè)調(diào)研，檢測(cè)某種有害微量元素的含量，隨機(jī)在兩種食品中各抽取了10個(gè)批次的食品，每個(gè)批次各隨機(jī)地抽取了一件，下表是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖（單位：毫克）

規(guī)定：當(dāng)食品中的有害微量元素含量在[0，10]時(shí)為一等品，在（10，20]為二等品，20以上為劣質(zhì)品．
（1）用分層抽樣的方法在兩組數(shù)據(jù)中各抽取5個(gè)數(shù)據(jù)，再分別從這5個(gè)數(shù)據(jù)中各選取2個(gè)．求甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率；
（2）每生產(chǎn)一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣質(zhì)品虧損20元．根據(jù)上表統(tǒng)計(jì)得到的甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品，的頻率分別估計(jì)這兩種食品為，一等品、二等品、劣質(zhì)品的概率．若分別從甲、乙食品中各抽取l件，設(shè)這兩件食品給該廠帶來(lái)的盈利為X，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：從甲抽取的5個(gè)數(shù)據(jù)中，一等品有4× =2個(gè)，非一等品有3個(gè)，從乙抽取的5個(gè)數(shù)據(jù)中，一等品有6× =3個(gè)，非一等品有2個(gè)，

設(shè)”從甲中抽取的5個(gè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，一等品個(gè)數(shù)為i”為事件Ai，（i=0，1，2）則P（A0）= = ，P（A1）= = ，P（A2）= = ，

設(shè)”從乙中抽取的5個(gè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，一等品個(gè)數(shù)為i”為事件Ai，（i=0，1，2）則P（B0）= = ，P（B1）= = ，P（B0）= = ，

∴甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率為：

P=P（A2B2）+P（A1B1）+P（A0B0）= + + =

（2）解：由題意，設(shè)“從甲中任取一件為一等品”為事件C1，則P（C1）= = ，

設(shè)“從甲中任取一件為二等品”為事件C2，則P（C2）= = ，

設(shè)“從甲中任取一件劣質(zhì)品”為事件C3，則P（C3）= = ，

設(shè)“從乙中任取一件為一等品”為事件D1，則P（D1）= = ，

設(shè)“從乙中任取一件為二等品”為事件D2，則P（D2）= = ，

設(shè)“從乙中任取一件劣質(zhì)品”為事件D3，則P（D3）= = ，

X可取﹣40，0，30，40，70，100，

P（X=﹣40）=P（C3D3）= × = ，

P（X=30）=P（C1D3+C3D1）= + = = ，

P（X=0）=P（C3D2+C2D3）= × + = ，

P（X=40）=P（C2D2）= = ，

P（X=70）=P（C1D2+C2D1）= + = ，

P（X=100）=P（C1D1）= = ，

∴X的分布列為：

X	﹣40	0	30	40	70	100
P

∴E（X）=﹣40× +0× +30× +40× +70× +100× =49.2

【解析】（1）由已知條件，利用互斥事件的概率加法公式能甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率概率．（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為X可取﹣40，0，30，40，70，100，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了莖葉圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)具體是多少；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列才能正確解答此題．