【題目】已知函數(shù)f(x)=2x+a2x , 其中常數(shù)a≠0.
(1)當(dāng)a=1時,f(x)的最小值;
(2)當(dāng)a=256時,是否存在實數(shù)k∈(1,2],使得不等式f(k﹣cosx)≥f(k2﹣cos2x)對任意x∈R恒成立?若存在,求出所有滿足條件的k的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:當(dāng)a=1時,f(x)=2x+ ≥2 =2,

當(dāng)且僅當(dāng) ,即x=0時取等號


(2)解:當(dāng)k∈(1,2]時,0<k﹣cosx≤3,0<k2﹣cos2x≤4,

當(dāng)a=256時,f(x)=2x+2562x,

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,f(x)在(0,4)上是減函數(shù),要使不等式f(k﹣cosx)≥f(k2﹣cos2x)對任意x∈R恒成立,只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x,即cos2x﹣cosx≤k2﹣k

設(shè)g(x)=cos2x﹣cosx,則g(x)的最大值為2.

要使得①式成立,必須k2﹣k≥2,即k≥2或k≤﹣1

∴在區(qū)間(1,2]上存在k=2,使得原不等式對任意的x∈R恒成立


【解析】(1)利用基本不等式a+b≥2 (a>0,b>0)直接可求得最小值;(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,f(x)在(0,4)上是減函數(shù),要使不等式f(k﹣cosx)≥f(k2﹣cos2x)對任意x∈R恒成立,只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x,即cos2x﹣cosx≤k2﹣k ①;設(shè)g(x)=cos2x﹣cosx,則g(x)的最大值為2.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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(1)作出函數(shù)f(x)的圖象;
(2)根據(jù)(1)所得圖象,填寫下面的表格:

性質(zhì)

定義域

值域

單調(diào)性

奇偶性

零點

f(x)


(3)關(guān)于x的方程f2(x)+m|f(x)|+n=0(m,n∈R)恰有6個不同的實數(shù)解,求n的取值范圍.

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B.
C.
D.a2

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規(guī)定:當(dāng)食品中的有害微量元素含量在[0,10]時為一等品,在(10,20]為二等品,20以上為劣質(zhì)品.
(1)用分層抽樣的方法在兩組數(shù)據(jù)中各抽取5個數(shù)據(jù),再分別從這5個數(shù)據(jù)中各選取2個.求甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率;
(2)每生產(chǎn)一件一等品盈利50元,二等品盈利20元,劣質(zhì)品虧損20元.根據(jù)上表統(tǒng)計得到的甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品,的頻率分別估計這兩種食品為,一等品、二等品、劣質(zhì)品的概率.若分別從甲、乙食品中各抽取l件,設(shè)這兩件食品給該廠帶來的盈利為X,求隨機變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

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