【題目】如圖,多面體, , ,且兩兩垂直.給出下列四個命題:
①三棱錐的體積為定值;
②經(jīng)過四點的球的直徑為;
③直線∥平面;
④直線所成的角為;
其中真命題的個數(shù)是(。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由題意,只要構(gòu)造長方體,設(shè)OA=x,OB=y,OC=z,則x2+y2=2,x2+z2=4,y2+z2=4,解得,x=1,y=1,z=,運用棱錐的體積公式,即可判斷①;運用異面直線所成角的定義,即可判斷②;球面經(jīng)過點A、B、C、D兩點的球的直徑即為長方體的對角線長,即可判斷③;由于OB∥AE,AE和平面ACD相交,即可判斷④.
由題意,構(gòu)造長方體,如右圖,設(shè)OA=x,OB=y,OC=z,
則x2+y2=2,x2+z2=4,y2+z2=4,解得,x=y=1,z=,
對于①,三棱錐O﹣ABC的體積為OC×OA×OB=,故①對;
對于②,球面經(jīng)過點A、B、C、D兩點的球的直徑即為長方體的對角線長,
即為,故②對;
對于③,由于OB∥AE,AE和平面ACD相交,則OB和平面ACD相交,故③錯.
對于④,由于OB∥AE,則∠DAE即為直線AD與OB所成的角,
由tan∠DAE=,則∠DAE=60°,故④對;
故選:C
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且Sn=n2+n.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)數(shù)列{bn}滿足bn= (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了整頓食品的安全衛(wèi)生,食品監(jiān)督部門對某食品廠生產(chǎn)的甲、乙兩種食品進行了檢測調(diào)研,檢測某種有害微量元素的含量,隨機在兩種食品中各抽取了10個批次的食品,每個批次各隨機地抽取了一件,下表是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖(單位:毫克)
規(guī)定:當食品中的有害微量元素含量在[0,10]時為一等品,在(10,20]為二等品,20以上為劣質(zhì)品.
(1)用分層抽樣的方法在兩組數(shù)據(jù)中各抽取5個數(shù)據(jù),再分別從這5個數(shù)據(jù)中各選取2個.求甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率;
(2)每生產(chǎn)一件一等品盈利50元,二等品盈利20元,劣質(zhì)品虧損20元.根據(jù)上表統(tǒng)計得到的甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品,的頻率分別估計這兩種食品為,一等品、二等品、劣質(zhì)品的概率.若分別從甲、乙食品中各抽取l件,設(shè)這兩件食品給該廠帶來的盈利為X,求隨機變量X的概率分布和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F(xiàn)分別在線段BC,AD上,EF∥AB,將矩形ABEF沿EF折起,記折起后的矩形為MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.
(1)在線段BC是否存在一點E,使得ND⊥FC ,若存在,求出EC的長并證明;
若不存在,請說明理由.
(2)求四面體NEFD體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P,Q分別為的中點.
求證:(1)平面D1 BQ∥平面PAO.
(2)求異面直線QD1與AO所成角的余弦值;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù),r>0).以直角坐標系原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為 ρsin(θ+ )+1=0.
(1)求圓C的圓心的極坐標;
(2)當圓C與直線l有公共點時,求r的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示,則( )
A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)
B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)
C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差
D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=n(an+1),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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