Question

【題目】已知函數(shù)（其中）．

（1）當(dāng)時(shí)，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)k的值；

（2）在（1）的條件下，記這些零點(diǎn)分別為，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)x＞時(shí)， ， 為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ， 為減函數(shù)，所以，判斷出、、； 的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)圖象，利用零點(diǎn)定理可得結(jié)果；（2）由（1）知的兩個(gè)零點(diǎn)為，不妨設(shè)， 可得，進(jìn)而， ，只需利用導(dǎo)數(shù)證明即可得結(jié)論.

試題解析：（1）由題x＞0， ，則，

由得，

當(dāng)x＞時(shí)， ， 為增函數(shù)；當(dāng)0<x< 時(shí)， ， 為減函數(shù)，

所以．

因?yàn)?/span>，所以，

而

，又，

所以當(dāng)時(shí)， 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．

（2）由（1）知的兩個(gè)零點(diǎn)為，不妨設(shè)，

于是且，

兩式相減得（*）， 令，

則將代入（*）得，進(jìn)而，

所以，

下面證明，其中，

即證明，設(shè)，

則，令 ，則，

所以為增函數(shù)，即為增函數(shù)，

故，故為減函數(shù)，

于是，即．

所以有，從而．而由，得，

所以，得證．