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【題目】已知函數（其中）．

（1）當時，判斷零點的個數k；

（2）在（1）的條件下，記這些零點分別為，求證： ．

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）先求導數，再求導函數零點，根據零點列表分析導函數符號，進而確定函數單調性，再根據零點存在定理確定函數零點個數，（2）先根據零點條件化簡得，令則，利用導數研究函數單調性，根據單調性得，即證得結論.

試題解析：（1）由題知x＞0， ，

所以，由得，

當x＞時， ， 為增函數；當0<x<時， ， 為減函數，

所以，

而，

所以當時， 零點的個數為2．

（2）由（1）知的兩個零點為，不妨設，

于是且

兩式相減得（*）， 令，

則將代入（*）得，進而，

所以，

下面證明，其中，

即證明，設，

則，令，則，

所以為增函數，即為增函數，

故，所以為減函數，

于是，即．

所以有，從而．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】一只紅鈴蟲的產卵數和溫度有關，現收集了6組觀測數據如下表：

溫度

21

24

25

27

29

32

產卵數/個

7

11

21

24

66

115

1.946

2.398

3.045

3.178

4.191

4.745

（I）以溫度為23、25、27、29的數據分別建立：①和之間線性回歸方程，②和之間線性回歸方程；

（Ⅱ）若以（Ⅰ）所得回歸方程預測，得到溫度為21、32的數據如下：

溫度

21

32

-11.5

80.94

1.825

4.857

試以上表數據說明①②兩個模型，哪個擬合的效果更好.

參考數據：

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某省級示范高中高三年級對考試的評價指標中，有“難度系數”“區(qū)分度”和“綜合”三個指標，其中，難度系數，區(qū)分度，綜合指標．以下是高三年級 6 次考試的統(tǒng)計數據：

i

1

2

3

4

5

6

難度系數 xi

0.66

0.72

0.73

0.77

0.78

0.84

區(qū)分度 yi

0.19

0.24

0.23

0.23

0.21

0.16

(I) 計算相關系數，若，則認為與的相關性強；通過計算相關系數 ，能否認為與的相關性很強(結果保留兩位小數)?

(II) 根據經驗，當時，區(qū)分度與難度系數的相關性較強，從以上數據中剔除(0.7,0.8)以外的 值，即．

(i) 寫出剩下 4 組數據的線性回歸方程(保留兩位小數)；

(ii) 假設當時， 與的關系依從(i)中的回歸方程，當 為何值時，綜合指標的值最大？

參考數據：

參考公式：

相關系數

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式為

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了反映國民經濟各行業(yè)對倉儲物流業(yè)務的需求變化情況，以及重要商品庫存變化的動向，中國物流與采購聯(lián)合會和中儲發(fā)展股份有限公司通過聯(lián)合調查，制定了中國倉儲指數．如圖所示的折線圖是2016年1月至2017年12月的中國倉儲指數走勢情況．

根據該折線圖，下列結論正確的是

A. 2016年各月的倉儲指數最大值是在3月份

B. 2017年1月至12月的倉儲指數的中位數為54%

C. 2017年1月至4月的倉儲指數比2016年同期波動性更大

D. 2017年11月的倉儲指數較上月有所回落，顯示出倉儲業(yè)務活動仍然較為活躍，經濟運行穩(wěn)中向好

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分別是AD，PC的中點．

(1)證明：PC⊥平面BEF；

(2)求平面BEF與平面BAP夾角的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，圖①是棱長為1的小正方體，圖②，③是由這樣的小正方體擺放而成．按照這樣的方法繼續(xù)擺放，由上而下分別將第1層，第2層，…，第層的小正方體的個數記為，解答下列問題：

（1）按照要求填表：

1

2

3

4

…

1

3

6

_

…

（2）__________．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數據繪制成頻率分布直方圖（如圖），

（1）由圖中數據求a的值；

（2）若要從身高在[120，130），[130，140），[140，150]三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140，150]內的學生中選取的人數應為多少？

（3）估計這所小學的小學生身高的眾數，中位數（保留兩位小數）及平均數.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知y=f（x）是定義在（－∞，+∞）上的奇函數，且在［0，+∞）上為增函數，

（1）求證：函數在（－∞，0）上也是增函數；

（2）如果f（）=1，解不等式－1＜f（2x+1）≤0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（其中）．

（1）當時，求零點的個數k的值；

（2）在（1）的條件下，記這些零點分別為，求證： ．

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