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已知函數f(x)=a-
1
|2x-b|
是偶函數,a為實常數.
(1)求b的值;
(2)當a=1時,是否存在m,n(n>m>0)使得函數y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數值組成的集合也是[m,n],若存在,求出m,n的值,否則,說明理由;
(3)若在函數定義域內總存在區(qū)間[m,n](m<n),使得y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數值組成的集合也是[m,n],求實數a的取值范圍.
(1)由已知可得,f(x)=a-
1
|2x-b|
,
且函數的定義域為D=(-∞,
b
2
)∪(
b
2
,+∞)

又y=f(x)是偶函數,故定義域D關于原點對稱.
于是,b=0.
又對任意x∈D,有f(x)=f(-x),可得b=0.
因此所求實數b=0.…(3分)
(2)由(1)可知,f(x)=a-
1
2|x|
(D=(-∞,0)∪(0,+∞))

f(x)=a-
1
2|x|
的圖象,
知:f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數,f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數
又n>m>0,
∴y=f(x)在區(qū)間[m,n]上是增函數.
∴有
1-
1
2m
=m
1-
1
2n
=n
,
即方程1-
1
2x
=x
,2x2-2x+1=0,
∵△=4-8<0,
∴不存在正實數m,n,滿足題意.…(7分)
(3)由(1)可知,
f(x)=a-
1
2|x|
(D=(-∞,0)∪(0,+∞))
f(x)=a-
1
2|x|
的圖象,
知f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數,f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數
因y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數值組成的集合也是[m,n],故必有m、n同號.
①當0<m<n時,f(x)在區(qū)間[m,n]上是增函數,
a-
1
2m
=m
a-
1
2n
=n
,
即方程x=a-
1
2x
,2x2-2ax+1=0有兩個不相等的正實數根,
因此
2a>0
△=4a2-8>0

解得a>
2
.…(10分)
②當m<n<0時,f(x)在區(qū)間[m,n]上是減函數,
a+
1
2m
=n
a+
1
2n
=m
,
化簡得(m-n)a=0,a=0
綜上,實數a的取值范圍a=0,或a>
2
.…(12分)
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

已知定義在(-1,1)上的偶函數f(x)在(0,1)上單調遞增,則滿足f(2x-1)<f(x)的x的取值范圍是______.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知偶函數f(x)在[0,+∞)上單調遞減,則f(1)和f(-10)的大小關系為( 。
A.f(1)>f(-10)B.f(1)<f(-10)
C.f(1)=f(-10)D.f(1)和f(-10)關系不定

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知對任意x∈R,恒有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且當x>0時,f′(x)>0,g′(x)>0,則當x<0時有( 。
A.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0D.f′(x)<0,g′(x)<0

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

若關于x的不等式x2-(a-1)x>-4對于x∈R恒成立,則a的取值范圍是______.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知定義域為R的函數f(x)=
-2x+a
2x+1
是奇函數,
(1)求a值,并判斷f(x)的單調性(不需證明);
(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知函數f(x)=
x2
x2+1
,則f(1)+f(2)+…+f(2013)+f(2014)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2013
)+f(
1
2014
)
=( 。
A.2010
1
2
B.2011
1
2
C.2012
1
2
D.2013
1
2

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

函數,則f(f(0))的值為_________.

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