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如圖，△中，，，，在三角形內挖去一個半圓（圓心在邊上，半圓與、分別相切于點、，與交于點），將△繞直線旋轉一周得到一個旋轉體．

（1）求該幾何體中間一個空心球的表面積的大小；
（2）求圖中陰影部分繞直線旋轉一周所得旋轉體的體積．

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）要求球的表面積，首先要求出球的半徑，如圖即半圓的半徑，這可在中列方程解得，圓半徑為則有，即，則此求得；（3）要陰影部分旋轉后的體積，我們要看陰影部分是什么幾何體，看看能不能把變成我們熟知的錐臺、球，或者上它們構成的，本題中，是在三角形內部挖去一個小三角形，因此最后所得可以看作是一個圓錐里面挖去了一個球，從而其體積就等于一個圓錐的體積減去球的體積，即.
試題解析：（1）連接，則，
設，則，
在中，，
所以        （4分）
所以．      （6分）
（2）中，，,，
，          （8分）
．（12分）

考點：球的表面積；（2）旋轉體的體積.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=，點M在線段EC上且不與E、C垂合.
（1）當點M是EC中點時，求證：BM//平面ADEF；
（2）當平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為時，求三棱錐M—BDE的體積

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC=3，側面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：DC∥平面PAB；
（2）求四棱錐P﹣ABCD的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（2013•湖北）如圖，某地質隊自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點向下鉆到A1處發(fā)現礦藏，再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1．同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．過AB，AC的中點M，N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面，其面積記為S中．
（1）證明：中截面DEFG是梯形；
（2）在△ABC中，記BC=a，BC邊上的高為h，面積為S．在估測三角形ABC區(qū)域內正下方的礦藏儲量（即多面體A1B1C1﹣A2B2C2的體積V）時，可用近似公式V估=S中﹣h來估算．已知V=（d1+d2+d3）S，試判斷V估與V的大小關系，并加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，底面是邊長為2的菱形，且，以與為底面分別作相同的正三棱錐與，且.

(1)求證：平面；
(2)求多面體的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（1）求二面角B-AF-D的大��；
（2）求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知矩形是圓柱體的軸截面，分別是下底面圓和上底面圓的圓心，母線長與底面圓的直徑長之比為，且該圓柱體的體積為，如圖所示．

(1)求圓柱體的側面積的值；
(2)若是半圓弧的中點，點在半徑上，且，異面直線與所成的角為，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30。，斜邊AC上的中線BD=2，現沿BD將△BCD折起成三棱錐C-ABD，已知G是線段BD的中點，E，F分別是CG，AG的中點．

（1）求證：EF／／平面ABC；
（2）三棱錐C—ABD中，若棱AC=，求三棱錐A一BCD的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA1＝AB＝2，BC＝3.

(1)求證：AB1∥平面BC1D；
(2)求四棱錐B－AA1C1D的體積．

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